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1、休息片刻继续,4-2 点 估 计,一、矩估计法 二、极大似然估计法 三、估计量的评选标准,（1）先建立待估参数与总体矩的关系 （2）再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩,一、矩估计法,1、矩估计法的思想,先把待估参数表示成总体矩的函数，然后再用样本矩代替相应的总体矩。,2、矩估计法的求解步骤,解：先建立待估参数与总体矩的关系,例1：,再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩，,例：,用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩, 得的矩估计量：,解: (1) 先建立待估参数与总体矩的关系,(2) 将数据代入，得的矩估计值为：,例3：,解：先建立待估参数与总体矩的关系,用样本矩代替相应的总体矩，得:,二、 极大似然
2、估计法,极大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件下所使用的一种参数估计方法。,费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质。,极大似然估计法是基于极大似然原理提出的。 为了说明极大似然原理， 我们先看个例子。,例子：,若让你推测一下， 是谁击中的野兔，你 会怎样想?,某同学与一位猎人一 起外出打猎。忽然，一只野兔从前方窜过，只听一声枪响，野兔应声倒下。,你会想：只一枪便击中，一般情况下猎人击中的概率比同学击中的概率大。 故，这一枪极大可能是猎人打的。,再如：,下面我们来概括一下极大似然原理,1、 极大似然原理,概率大的事件在一次观测中更容易发生。,在极大似然估计法中
3、，关键的问题是 求似然函数。下面分别就离散型总体与 连续型总体介绍似然函数的求法。,设X为离散型总体，其分布律为：,2、似然函数,（1）离散型总体似然函数的求法,联合分布律为:,仔细观察我们会发现，,现在只做一次抽样，,（2）连续型总体似然函数的求法,设X为连续型总体，其概率密度为：,对来自总体的样本 ， 其观测值为 ，作为与总体同分布且相互独立的 维随机变量，样本的联合概率密度为:,其中 未知,小结： 似然函数,我们称 为似然函数。,例1:,解： 的似然函数为：,取对数：,求导并令其为0：,从中解得：,4、极大似然估计法求解的一般步骤,（）取对数,（1）写似然函数,（）求导数,（）作结论,例
4、2 :,解:似然函数为：,取对数：,解得p的极大似然估计量为：,求导并令其为0：,练习:课本P114例3,思考题:,思考题解答:,（）取对数,（）求偏导数,（1）写似然函数,1、 矩估计法的求解步骤 （1）先建立待估参数与总体矩的关系; （2）再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩。,2、极大似然估计法,小 结,作业:,解: (1) 的似然函数为：,取对数：,求导并令其为0：,从中解得：,用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩, 得的矩估计量：,解: (2) 先建立待估参数与总体矩的关系,解：（1）先求矩估计量,练习2:,用样本矩代替相应的总体矩，即得的 矩估计量为：,（2）再求的极大似然估计量,似然函数为：,由上可见：同一个未知参数，会有不同的 估计量，那末如何评价它们的好坏呢？这就涉 及到估计量的评选标准问题。,1、无偏性,三、估计量的评选标准,一个好的估计量应满足无偏性、有效性 和一致性的要求。,无偏性要求估计量的取值要以参数真值为中心左右摆动。它等同于估计量的数学期望等于待估参数的真值。,定义：,例1：,证明:,练习：,解：,讨论:,解:,2、有效性,定义：,3、一致性（了解）,一致性要求的含义是，一个参数估计值除了满足无偏性、有效性外，还应满足随着样本容量的增大，越来越接近参数真值。,小结,一、矩估计法 二、极大似然估计法 三、估计量的评选标准,
