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1、圆与直线、圆与四边形1(2015天津卷)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N。若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()A. B3C. D.解析由相交弦定理，得因为M，N是弦AB的三等分点，所以AMMNNB，MBAN。所以AMMBANNB。所以CMMDCNNE，即243NE，解得NE答案A2(2016宿州模拟)如图，A，B，C，D是O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E，若BCD110，则DBE()A75 B70C60 D55解析因为A，B，C，D是O上的四个点，所以ABCD180，因为BCD110，所以A70，因为BE与O相切于点B，所以DBE
2、A70。答案B3.如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F。在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF。则所有正确结论的序号是()A BC D解析由弦切角定理知FBDBAD，AD平分BAC，CBDCAD，BADDBC。FBDCBD，即BD平分CBF，正确；由切割线定理知，正确；由相交弦定理知，AEEDBEEC，不正确；ABFBDF，。AFBDABBF，正确。故选D。答案D4.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB1，PD3，则的值为_。解
3、析ABCD为圆内接四边形，PBCADP，又PP，BCPDAP，。答案5(2015重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE_。解析因为PA是圆的切线，所以有PA2PCPD，于是PD12，因此CDPDPC9。又因为CEED21，所以CE6，ED3。又由相交弦定理可得AEBECEED，所以BE2。答案26(2015广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_。解析设OD交劣弧于点M，由OPBC，得OP，P为AC的
4、中点，PM。由切割线定理得DC2DM(DM4)。在ABC中，AC为直角边，且AC，所以CP。在RtDCP中，DC2(DMPM)2CP2，联立可求得DM6，所以OD8。答案87(2015陕西卷)如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C。(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径。解(1)证明：因为DE为O直径，则BEDEDB90。又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED。又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA。(2)由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3。所以AC4，所以AD3。由切割线定理得AB2ADAE，即AE6
5、，故DEAEAD3，即O直径为3。8.(2015湖南卷)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N。直线MO与直线CD相交于点F。证明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO。证明(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180。又四边形的内角和等于360，故MENNOM180。(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO。9.(2015课标全国卷)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E。(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE
6、，求ACB的大小。解(1)证明：连接AE，由已知得，AEBC，ACAB。在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE。连接OE，则OBEOEB。又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线。(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE。由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120。可得x，所以ACB60。10.(2015课标全国卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积。解(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线。又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF。从而EFBC。(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线。又EF为O的弦，所以O在AD上。连接OE，OM，则OEAE。由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30。因此ABC和AEF都是等边三角形，因为AE2，所以AO4，OE2。因为OMOE2，DMMN，所以OD1。于是AD5，AB。所以四边形EBCF的面积为2(2)2。
