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1、专题函数常见题型归纳三个不等式关系: (1)a,bR,a2b22ab,当且仅当ab时取等号 (2)a,bR,ab2,当且仅当ab时取等号 (3)a,bR,()2,当且仅当ab时取等号上述三个不等关系揭示了a2b2 ,ab ,ab三者间的不等关系其中,基本不等式及其变形:a,bR,ab2(或ab()2),当且仅当ab时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值利用基本不等式求最值:一正、二定、三等号【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】(扬州市20152016学年度第一学期期末11)已知且,则的最小值为 .【解析】且,解得或,即练习:1(南京市、盐城市2015届高三年
2、级第一次模拟10)若实数满足,且,则的最小值为 解析:由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22,则有xy=2,那么=(xy)+2=4,当且仅当(xy)=,即x=+1,y=1时等号成立,故的最小值为42.(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)若实数满足,则的最小值为 3.(无锡市2017届高三上学期期末)已知,且,则的最小值为 .【典例2】(南京市2015届高三年级第三次模拟12)已知x,y为正实数,则的最大值为 解析:由于=1+=1+1+=,当且仅当4=,即y=2x时等号成立【典例3】若正数、满足,则的最小值为_.解析:由,得,解得(当且仅当且,即
3、时,取等号).变式:1.若,且满足,则的最大值为_.解析:因为,所以由,解得(当且仅当且,即时,取等号).2.设,则的最小值为_ 43.设,则的最大值为_ 4.(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)已知正数,满足,则的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】(苏州市2017届高三上期末调研测试)已知正数满足,则的最小值为 练习1(江苏省镇江市高三数学期末14)已知正数满足,则的最小值为 .解析:对于正数x,y,由于+=1,则知x1,y1,那么+=(+)(1+1)=(+)(+)(+)2=25,当且仅当=时等号成立2.(20132014学年度苏锡常镇四市高三教学情况
4、调查(一)11)已知正数满足,则的最小值为 解析:,当且仅当时,取等号故答案为:93(南通市2015届高三第一次调研测试12)已知函数的图像经过点,如下图所示,则的最小值为 .解析:由题可得a+b=3,且a1,那么+=(a1+b)(+)=(4+1)(2+5)=,当且仅当=时等号成立4(江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试12)己知a,b为正数,且直线 与直线 互相平行,则2a+3b的最小值为_【解析】由于直线ax+by6=0与直线2x+(b3)y+5=0互相平行,则有=,即3a+2b=ab,那么2a+3b=(2a+3b)=(2a+3b)(+)=+132+13=25,当且仅当=,即a=b时
5、等号成立5.常数a,b和正变量x,y满足ab16,.若x2y的最小值为64,则ab_.答案:64;(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足,则的最大值为 答案:【题型三】代入消元法【典例5】(苏州市2016届高三调研测试14)已知,则的最小值为 解析:由得 ,令 则当且仅当 即 等号成立练习1(江苏省扬州市2015届高三上学期期末12)设实数x,y满足x22xy10,则x2y2的最小值是 解析:由x22xy10可得y=,那么x2y2= x2=x2+2=,当且仅当x2=,即x4=时等号成立 2(苏州市2014届高三调研测试13)已知正实数x,y满足,则x + y 的最小值为 解析:正实数x,
6、y满足xy+2x+y=4,(0x2)x+y=x+=(x+1)+3,当且仅当时取等号x+y的最小值为故答案为:3(南通市2014届高三第三次调研测试9)已知正实数满足,则的最小值为 解析:正实数x,y满足(x1)(y+1)=16,x+y=,当且仅当y=3,(x=5)时取等号x+y的最小值为8故答案为:84.(扬州市2017届高三上学期期中)若,且,则使得取得最小值的实数= 。5.设实数x、y满足x2xy10,则xy的取值范围是_6.已知,且,求的最大值为_【题型四】换元法【典例6】(南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试13)已知函数f(x)ax2xb(a,b均为正数),不等式f(x)0
7、的解集记为P,集合Qx|2tx2t若对于任意正数t,PQ,则的最大值是 【解析】由题意可知任意正数t,集合Qx|2tx2t,构成的集合的交集为,即,令,当且仅当,等号成立,或(舍)故则的最大值是2(2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14)已知正数a,b,c满足b+ca,则+的最小值为解法一:正数a,b,c满足b+ca,+=(+)+=+当且仅当=时取等号故答案为:解法二:由 得,令,则,所以,当且仅当时等号成立故的最小值为练习1(江苏省南京市2016届高三第三次模拟14)若实数x,y满足2x2xyy21,则的最大值为 解析:由2x2xyy21可得,令,则,代入得,令,则,当
8、且仅当时取等号,故的最大值为2设是正实数,且,则的最小值是_.解:设,则, 所以= . 因为 所以. 3.若实数x,y满足2x2xyy21,则的最大值为 4(江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查数学试题(一)14)若实数满足,则当取得最大值时,的值为 5 .解析:当时,取最大值8,取得最大值,解得,故.【题型五】判别式法【典例7】南通市2015届高三第三次调研测试14已知正实数x,y满足,则xy的取值范围为 【解析】设,则,代入得:,由,解得,即xy的取值范围为.练习1. (泰州市2016届高三第一次模拟13)若正实数满足,则的最大值为 【解析】令,则,因此,当时,因此的最大值为
9、2.设,则的最大值为_ 变式1(江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研(二)数学试题14)在平面直角坐标系中,设点,若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值是 解析:由题意得:,对任意实数都成立,因此,即对任意实数都成立,即,对任意实数都成立,即,即,实数的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法:将所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数,有1)对恒成立2)对恒成立分离变量法:若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一
10、般地有:1)恒成立2)恒成立确定主元法:如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。2(南京市2014届高三年级第三次模拟14)设二次函数(为常数)的导函数为对任意,不等式恒成立,则的最大值为 解析:,对任意,不等式恒成立,恒成立,即恒成立,故,且,即,故,故答案为:【题型六】分离参数法【典例8】(2013-2014学年江苏省镇江市高三(上)期末14)已知x0,y0,若不等式x3+y3kxy(x+y)恒成立,则实数k的最大值为_ 解析x0,y0,不等式x3+y3kxy(x+y)可化为,x2xy+y2kxy,即,由基本不等式得,k21=1,实数k的最大值为1,故答案为:1练习1(江苏省苏北三市2016届最后一次模拟3)已知对满足的任意正实数,都有,则实数的取值范围为 .解析:,而,因此即实数的取值范围为2若不等式x22xya(x2y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为 【解析】方法一:令ytx,则t0,代入不等式得x22tx2a(x2t2x2),消掉x2得12ta(1t2),即at22ta10对t0恒成立,显然a0,故只要44a(a1)0,即a2a10,考虑到a0,得a.方法二:令ytx,则a,令m12t1,则t,则a,故a.第 11 页 共 11 页