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1、 10/8/2020一、图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。 等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，学过的轴对称平面图形： 长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。圆有无数条对称轴。轴对称图形的特征和性质：对称点到对称轴的距离相等；对对称点的连线与对称轴垂直；对称轴两边的图形大小、形状完全相同。对称图形包括 轴对称图形 中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。2、 旋转：在平面内，一个图形绕着一个
2、顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转要明确绕点，角度和方向。（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。旋转的性质：（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。3、旋转要注意：
3、顺时针、逆时针、度数因数和倍数整数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。自然数 整数与自然数的关系：整数包括自然数。 大数能被小数整除时大数小数3、 因数、倍数： 大数是小数的倍数， 小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。（1） 数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（2） 一个数的因数的个数是有限的，其中 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：（用除法）成对地按顺序找。 例如：求36的因数：从自然数一开始逐一往下除，不能整除的跳过一直除到商和除数有重复，其中除数和商都是被除数的因数，重复数保
4、留一个按箭头方向把因数有序排列。36363636363618129612346= 因此36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36提示：找因数要做到不重不漏（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。（4）2、3、5的倍数特征1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3）个位上是0或5的数，是5的倍数。4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数） 的最大的两位数是90，2、3、5的倍数特征最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求235=30的倍数。5
5、） 如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 拓展提高 2的倍数：若一个整数的个位数字是0、2、4、6或8，则这个数就能被2整除。 3的倍数：若一个整数的各位数字的和能被3整除，则这个整数就能被3整除。 4的倍数： 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数就能被4整除。 5的倍数：若一个整数的末位是0或5，则这个数就能被5整除。 6的倍数：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 7的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相减、验差的过程
6、，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133是7的倍数；又例如判 断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以6139是7的倍数，余类推。 8的倍数：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 9的倍数：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。11的倍数：两种方法： 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续上 述截尾、倍
7、大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断165是否11的倍数的过程如下：165=11，所以165是11的倍数；又例如 判断2112是否11的倍数的过程如下：2112209 ， 20911，所以2112是11的倍数，余类推。13的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要 继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断247是否13的倍数的过程如下：24+74=52，所以247是13的倍 数；又例如判断2496是否13的倍数的过程如下：249+6427
8、3 ， 27+3439，所以2496是13的倍数，余类推。17的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要 继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断221是否17的倍数的过程如下：2215=17，所以221是17的倍 数；又例如判断4318是否17的倍数的过程如下：43185391 ，391534，所以4318是17的倍数，余类推。 19的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大
9、或心算不易看出是否19的倍数，就需要 继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断646是否19的倍数的过程如下：64+62=76，所以646是19的倍 数；又例如判断1691是否19的倍数的过程如下：169+12171 ，17+1219，所以1691是19的倍数，余类推。 若 一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。（注：隔出数，就是一个数扣除末三位后剩下的数字。例如5012的隔出数 就是5；12590的隔出数就是12。）例如：判断21128是否19的倍数的过程如下：217128=19，所以21128是19的倍数。23的倍数：若 一
10、个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除。（注：这里的隔出数，是一个数扣除末四位后剩下的数字。）例如：判断 2271595是否23的倍数的过程如下：15952275=460，460是23的倍数，所以2271595是23的倍数。29的倍数：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除。例如：判断32625是否29的倍数的过程如下：262535=2610，2610是23的倍数，所以32625是29的倍数。另外，其他数的倍数的特征可综合起来考虑：如：15的倍数就是3的倍数和5的倍数的综合。26的倍数就是13的倍数和2的倍数的综合。3、完全数
11、：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0. 关系： 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。 偶数 偶数=偶数奇数 偶数=偶数 奇数 奇数=奇数 5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. 质数（或素数）：只有1和它本身两
12、个因数。合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。0： 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 100以内的质数有25个： 连续的两个质数是2、3。100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系： 质数质数=合数6、最大、最小A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；A的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；A的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短
13、除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两数互质的特殊情况：1和任何自然数互质；两个质数一定互质；2和所有奇数互质； 质数与比它小的合数互质；相邻两个自然数互质；9、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。10、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 11、求最大公因数和最小公倍数方法用12和16来举例求法一：（列举求同法）最大公因数的求法：12的因数有：1、12、2、6、3、416的因数有：1、16、2、8、4最大公因数是42、求法二：（分解质因数法）12=22316=2222最大公因数是：22=4 （相同乘）最小公倍数是
