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1、 初探高考数学试题中的“思想方法”-观2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）有感河南省鹤壁高中 蔡凤敏 15803921132摘要：高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与化归思想这四种思想是高考的必考内容，也是高考的考查重点；通过对 2012 年新课标全国卷的探析，我们可以发现此卷有两大特点：一是同一数学思想的考察频率高；二是同一道题上集中体现多种数学思想。关键词：高考试题 2012 年新课标全国卷 数学思想方法 函数与方程思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化与化归思想高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,对数学思想和
2、方法的考察是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考察。数学思想和数学基本方法蕴含了数学基础知识的运用，表现为数学观念，它与数学知识的形成同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程。因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与划归思想这四种思想是高考的必考内容，也是高考的考查重点,各种题型都有。下面笔者仅就 2012 年新课标全国卷对这四种数学思想的考察进行一一探析。一、函数与方程思想函数与方程思想是高中数学的重要数学思想之一，它在高考中有着重要地位。函数思
3、想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）,然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.如 2012 年新课标全国卷的第 5 题，要求考生利用等比数列的性质，得出 -8，=6574a再结合已知条件 ，可得 解方程得 或274=+a 的 两 根 ，是 方 程和 08-274xa ,2-，再通过适当计算可得 。本题是方程思想的典型体现：利用根与系数2-,47a10=+的关系构造方程，使问题得以解决。再如第
4、17 题第二问，由三角型面积公式和余弦定理得出 和 ，解方程得4bc82ccb选择题的最后一道题（第 12 题）是求分别在两个函数图象上的任意两点间距离的最小值问题。要求考生先研究两个函数的关系，得出两个函数恰好互为反函数，图像关于 y=x 对称，以下思路有两个：思路一，函数 上的点 到直线 y=x 的距离为 ,设函数xey21=1(,)2xPe2-1xed=，-(),-)(xgeg则不难得出 ，所以 ，又由于图像关于 y=x 对称，ln1mi 2ln-mi=d。)2-(2in=dPQ思路二，求平行于 y=x 的直线与 相切时的切点坐标，令 解得 x=ln2,所以xey21=12=xey切点坐
5、标为 （ln2,1）,它关于 y=x 的对称点坐标为(1,ln2),两点间的距离为 ，)2ln-(此即为所求。二、数形结合思想数形结合思想渗透于众多试题中，如第 4,7,8,10,11,12,14,19,20,23 题。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它的考察要求考生会根据数的结构特征构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。例如第 14 题考察可行域与目标函数的问题，把数转化为形；第 23 题已知点 的极坐标为 且 依逆时针次序排列，求点 的直A(2,)3,ABCD,ABCD角坐标，由
6、图可知点 的极角依次增加 ,点 的极坐标为,BCD, 点 的直角坐标为 ,充541(2,),(2,)3636, (13),(13),(1)分展示了把形转化为数；解析几何题第 4,8,20 题和立体几何题第 7,11,19 题则是在数与形之间相互转化。三、分类讨论思想分类讨论思想考察了考生的逻辑思维能力和思维的缜密性，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维策略。如第 1 题，受集合 B 中的条件限制需以 x 或 y 为对象进行分类讨论；第 5 题则是由计算结果有两个 需进行分类讨论；2-,4,2-774 =aa或第 18 题是一道应用题，它则是根据实际问题的具体分析引起的分类讨论；第
7、20 题确定直线 m 的斜率时是由于图形的不确定性引起的分类讨论；第 21 题第二问求 的最大值是由参数 取值不同需对 “ ”进行分类讨论；ba)1(+ 1+第 24 题第一问中解不等式需去掉绝对值，由绝对值的定义引起的分类讨论。四、转化与化归思想转化与化归思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.著名的数学家,莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到
8、简单的化归转换过程。如第 10 题函数 是一个比较复杂的函数，对于函数的性质难以探究，可xxf-)1ln()+=以把问题转化为探究 （x-1）的性质，由 得函数单调性是在（-1,0）上y 1-+=xy单调递增，在第四象限单调递减且在 x=0 时 ，从而 y0 恒成立，当且仅当 x=0 时0maxy，所以原函数定义域为xx-1 且 x0,单调性是在（-1,0）上单调递减，在第四象0max=y限单调递增。第 12 题由前面分析可知，可以把求最值问题转化为点到直线的距离或两点间的距离问题。第 17 题把角 B 转化为角 A 与角 C; 第 19 题第二问，考生可以把求二面角的问题转化为求两个半平面法
9、向量夹角的问题；第 20 题第一问，根据抛物线的定义把 转化为点 A 到直线 l 的距离为 ；pFA2=p2第 21 题第二问，由已知得 b,分类讨论如下1)x(a-xe若 a+10,可将不等式问题转化为函数问题，令 ，则)(-)(+=xg1)(a-)( +=xeg当 xln(a+1)时 0;故xgx lnlnmi所以 等价于 b)(xf2 1)ln(a-1+a因此 (观察不等式左侧，易知转化为所求最值问题 )ba1+)ln()(a-2+令 lx-F,ln-)(2xF则(将不等式问题转化为函数问题,建立目标函数求最值，其中还涉及到常量问题转化为变量问题)00;x 时， 0;e)( e)(；故当
10、 ， 有最大值 .2maxx时 ，当 时2,eba=ba)1(+2e此题中数次用到转化与划归思想使解题过程更具灵活性，同时又结合分类讨论思想的应用，达到一题多种数学思想的集中体现，极大程度地考察了考生的应变能力和思维能力。通过对 2012 年新课标全国卷的探析，我们可以发现此卷有两大特点：一是同一数学思想的考察频率高；二是同一道题上集中体现多种数学思想。对数学思想的考察是以知识为载体，所以考生必须先对基础知识熟练掌握，在平时训练时有意识的应用数学思想方法去分析问题和解决问题，提高思维能力，才能在高考中做到游刃有余。参考文献：高中数学解题思想方法全部内容.人教版 资料类型:试卷 资料编号：379281钟山 .2006-2011 全国（精华版）高考试题分类全解（母题 5+1）专题（十）：思想方法.辽宁教育出版2社 2011,（7）：305-3072012 年高考考试大纲（全国版）：数学理3
