椭圆的简单几何性质教学设计

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1、 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 教学设计教学设计哈工大附中 闫晓丽教材： 人民教育出版社 A 版 选修 11 【教学目标】1.知识目标：(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c 的几何意义及相互关系；(2) 通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。(3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。2.能力目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。3.德育目标：(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学

2、方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。(2)通过“ 神舟 7 号”飞天圆梦，激发学生爱国之情。(3)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。【教学过程】一创设情境教师：请同学们看大屏幕（课件展示“神舟 七号”飞船在变轨前绕地球运行的模拟图）：2008.9.25，是我国航天史上一个非常重要的日子， “神舟 七号”载人飞船成

3、功发射， 实现了几代中国人遨游太空的梦想,这是我们中华民族的骄傲。我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。 （引出课题）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回答） 。二探索研究11. 范围教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过 A1、A 2 作 y 轴的平行线，过B1、B2 作 x 轴的平行线（课件展示） ，同学们能

4、发现什么？ 学生能答出：椭圆围在一个矩形内。教师补充完整：椭圆位于四条直线 x=a, y=b 所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。教师：下面我们想办法再用方程 + =1(ab0)来证明这一结论的正确2axby性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中 x、y 的取值范围。 从方程的结构特点出发，师生共同分析， 给出证明过程。由 + =1，利用两个 实数的平方和为 1，结合不等式知识得，2axbyx a 且 y b ,则有xa,yb, 所以-axa,-byb。22对称性的发现与证明教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆） ，如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平

5、分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。 ）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。 教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定 椭圆的标准方程。不妨建立焦点在 x 轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是 + =1。2axby教师：这节课就以焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于 y轴对称。为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）教

6、师：在第一册学过，曲线关于 y 轴对称是指什么呢？2学生：曲线上的每一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上。教师：要证曲线上每一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上，只要证明-学生：曲线上任意一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上。在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把 x 换成-x 时，方程不变，则椭圆关于 y 轴对称” 。请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。教师对学生的证明进行评价。教师：用类似的方法

7、可以证明椭圆关于 x 轴对称,关于原点对称。课件展示对称性并总结：方程 + =1 表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对2axby称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。投影显示下图及问题yo x问题：图中的椭圆有对称轴和中心吗？指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。 （此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔） 。3.顶点

8、的发现与确定教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点， 这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。3教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令 x=0,得 y=b，因此 B1(0,-b), B2(0,b) ，令 y=0，得 x=a，因此 A1 (-a,0), A2(a,0)。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、 长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程

9、中 a、b 和 c 的几何意义和数量关系。由学生探究得出椭圆的一个焦点 F2 到长轴两端点 A1 , A2 的距离分别为 a+c和 a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。4离心率教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？课件动画演示此时学生展开讨论，可能有的说与 a、c 有关，也可能说与 a、b 有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引 导学生思考。 教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线 x=a,y=b 围成的矩形里，矩形的变化对椭圆形状

10、的影响。矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即 a=b 时 ,椭圆变为圆。即当比值 越小，椭圆越扁；比值 越大，椭圆越接近于圆。abab由于 = = = ，所以当 越大时， 越小，椭c22c2)(1acb圆越扁；当 越小时， 越大，椭圆越接近于圆。把比值 e= 叫椭圆的离心率，ab分析出离心率的范围：0e1。结论：椭圆在- ax a， -bxb 内，离心率 e 越大，它就越扁；离心率e 越接近于 0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。4由上面的分析可以看到，比值 、 的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为abc什么定义 是椭圆的离心率呢？因

11、为 a、c 这两个量是椭圆定义中固有的，是决ac定椭圆形状最关键的要素，随着今后的学习可以看到 还有更重要的几何意义。ac三巩固与创新应用例 1 求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画40256yx出它的草图。本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。解：由于 a=5, b=4 ，c= =31625椭圆的长轴长 2a=10，短轴长 2b=8离心率 e= =ac3因为焦点在 x 轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是(-5,0)、(5,0)、 (0,-4)、(0,4)教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形

12、状和大小的草图，方法如下：（课件展示）首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例 1 那样，用描点法画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。练习：如果把例 1 中的椭圆方程改为 + =1，则长轴长、短轴长、离162x5y心率和顶点有什么变化。此处是一个创新点，培养学生用类比的思想解决问题的能力，也通过

13、与上题做比较，使学生体会到椭圆 的性质是其本身固有的，是客观存在的，与坐 标系的5选取无关。学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师要予以纠正。 （此题用实物投影展示或由学生到黑板板书）例 2 我国发射的“神舟七号”飞船在变轨前是沿以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点 B（离地面最远的点）距地面约为 350km，地球半径为 6371km并且 F2、A、B 在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。 （结果精确到 0.01km）设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应 用意识和运用数学知识解决实际问题

14、的能力；第二， 为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。 （求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程） 。教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系） 。怎样建系？（以过 A、B 的直线为 x 轴，F 2为椭圆的右焦点，记 F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为+ =1 (ab0)。2axby下面确定 a、b 的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。F 2 A=6371+200 ，F 2 B=6371+350又

15、F 2 A=o A-oF 2=a-c因此,有 a-c=o A-oF 2=F 2 A=6371+200=6571同理,得 a+c=o B+oF 2=F 2B=6371+350=6721解得 a=6646， c=75b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=441636916645.58 2因此，飞船的轨道方程为 + =1264x58.y学生可能出现的另一种解法：由 2a =AB=BN+NM+MA=350+26371+200 a =6646 c =oF 2=o A-F 2 A =6646-6371-200=75以下做法同上。计算过程由学生用计算器求得。教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的6轨迹。

16、四总结提炼教师：通过这节课学习，你学到了什么？（教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结，培养学生反思自己学习过程的意识）1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。2.数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中注意运用。 3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法解析法（坐标法） ，这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。五.课外阅读课本 43 页用几何画板探究点的轨迹：椭圆板书设计椭圆的性质一性质 二应用以方程 + =1(ab0) 为例研究 例 12xy1.对称性.椭圆关于 x 轴、y 轴及原点对称.2.顶点