《椭圆的标准方程与几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆的标准方程与几何性质（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆的标准方程与几何性质 知识梳理知识点一：椭圆的定义平面内与两定点 F1，F 2距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆，即点集21FaM=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F 1F2|=2c；这里两个定点 F1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。（ 时为线段 ， 无轨迹） 。2a121a知识点二：椭圆的方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中x2byax)0(a22bac椭圆的焦点坐标为 ， ；)0,(c),2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；y 12bxay)0(22bac椭圆的焦点坐标为 ，),0(c),3. 椭圆的一般方程： .4. 焦点在
2、 轴上时 （ ） （参数方程，其中 为参数）x12bya22abccosinxayb知识点三：椭圆 的简单几何性质2)0(（1）对称性：椭圆 ：是以 轴、 轴为对称轴的轴对称图形，并 12byax)(axy且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点xby的坐标满足 ， 。axby（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶12bya)0(点，坐标分别为 ， ， ， 线段 ，)0,(1aA),(2),0(1bB),(221A分别叫做椭圆的长轴和短轴， , 。
3、和 分别叫做21BaA1ab椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率： 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 ，即 称为椭圆的离心率，2c记作 e（ ） ， 奎 屯王 新 敞新 疆 是圆；10221()beae0e 越接近于 0 （e 越小） ，椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1 （e 越大） ，椭圆越扁；（5）焦半径公式 01exPF02xPF（1） ； ；)(21aB)(1cO（2）最大距离，最小距离； ； ；cFA21 aFA121 caPF1（6）焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：（1）已知椭圆方程 ，焦点为 ， ， 是 椭 02bayx12圆 上一点， 最大角 11
4、2max,FPBF（2）已知椭圆方程 ，焦点为 ， ， 是椭圆上02byax12P一点 的面积 21PF1sin2211FSPF ，当 即 为短轴端点时，tan2b20tan|Sbcy0|bP的最大值为 bc；maxS（3） 的取值范围以及| PF1| |PF2|的取值范围问题PF1 PF2 （7）点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；0(,)Pxy201xyab（2）点 在椭圆上 1；0(,)xy2ba（3）点 在椭圆内,P0xy知识点四：椭圆 与 的区别和联系12byax12bxa)0(标准方程 2yx)( 12bxay)0(ba图形焦点 ，)0,(1cF),(2 ，),0(1cF),
5、(2焦距 22范围 ，axby，bxay对称性 关于 轴、 轴和原点对称顶点 ，)0,(),( ，),0(a),(轴长 长轴长= ，短轴长= a2b离心率 )10(ec性质焦半径 ，01xaPF02exaPF，01eyaPF02eyaPF注意：椭圆 ， 的相同点：形状、大小都相同；参数2byx12b)(间的关系都有 和 ， ；不同点：两种椭圆的位置)0(a)(eac22cba不同；它们的焦点坐标也不相同。典型例题一.椭圆定义：方程 化简的结果是 1022yxyx2若 的两个顶点 ， 的周长为 ，则顶点 的轨迹方程是 ABC4,0,ABAC18C3.已知椭圆2169xy=1 上的一点 P 到椭圆
6、一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦 点 距 离 为 二利用标准方程确定参数1.若方程 + =1（1）表示圆，则实数 k 的取值是 .25xk3y（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（3）表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 .2.椭圆 的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦2510x点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3椭圆 的焦距为 ，则 = 。24ym2m4椭圆 的一个焦点是 ，那么 。52kx),0(k三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点 ， ，则该椭圆的标准方程为 。(4,0)(,
7、3)2焦点在坐标轴上，且 ， 的椭圆的标准方程为 21a2c3焦点在 轴上， ， 椭圆的标准方程为x:b64. 已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0） ，求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆1F2F1F2的标准方程；变式：求与椭圆 共焦点，且过点 的椭圆方程。2493xy(3,)四焦点三角形1椭圆 的焦点为 、 ， 是椭圆过焦点 的弦，则 的周长是 2195xy1F2AB1F2AB。2设 ， 为椭圆 的焦点， 为椭圆上的任一点，则 的周1F240562yxP21FP长是多少？ 的面积的最大值是多少？P3设点 是椭圆 上的一点， 是焦点，若 是直角，则 的2156xy12,F12F
8、12面积为 。变式：已知椭圆 ，焦点为 、 ， 是椭圆上一点若492yx12P，求 的面积6021PF1FP五离心率的有关问题1.椭圆 42myx的离心率为 2，则 m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 ，则此椭圆的离心率 为 012e3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、 F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在 ABC 中， 3,|,30ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 最值问题：1.椭圆 两焦点为 F1、F 2，点 P 在
9、椭圆上，则|PF 1|PF2|的最大值为_，24xy最小值为_2、椭圆 两焦点为 F1、F 2，A(3，1)点 P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为2516_，最小值为 _3、已知椭圆 ，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小24xy值 。巩固训练1 已知 F1(-8， 0)，F 2(8，0)，动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2、椭圆 左右焦点为 F1、F 2，CD 为过 F1 的弦，则 CDF1 的周长为_269xy3 已知方程 表示椭圆，则 k 的取值范围是( )21kA -10 C
10、 k0 D k1 或 kb0）,点 P（ , ）在椭圆上。22+22 5 22（I）求椭圆的离心率。（II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的OQ斜率的值。1.若椭圆 的长轴在 轴上,且焦距为 4,则实数 的值为12102myxym4 5 7 8)(A)(B)(C)(D2.若 是椭圆 上一点，点 到两个焦点 的距离之差为 2，则 是P126yxP21,F21FP锐角三角形 直角三角形 等腰直角三角形 钝角三角形)()()()(3. ，方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 的取值范围2,01cossin22yx 是：A （0, ） B （0
11、, C （ , ） D , ）444424.若点 在椭圆 的内部，则 的取值范围是(,1)a12yxaA B C D22a或 2a1a5.椭圆 的一个焦点为 ，点 P 在椭圆上，若 的中点 M 在 轴上，则点 M13yx1F1Fy的纵坐标是A B C D4224346.若直线 和椭圆 相交，则 的取值范围是ykx236xykA B 63或 63C Dk或 k7. 若椭圆 的一个焦点是（0,2） ，则 的值为 。0632kyx8.若椭圆 的焦点在直线 的两侧，则 的取值范围为 152 30xaya。9.直线 交椭圆 于 A，B 两点，M 是 AB 的中点，若 ，则0xy21mxny 2OMk 。mn10.设 的周长为 36，则 的顶点 的轨迹方程是 (0,5)(,MNPMNP。11.设 是椭圆的两焦点， ， 为椭圆上的点，且12,F12|8F，则点 的个数为 个。1|0P12. 已知椭圆 ，求以点 为中点的弦所在直线的方程。24yx(1,)P
