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1、1椭圆及其标准方程 教学设计平山职教中心安志英一学情分析学生在基础模块（下）中学过圆，握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究椭圆。二、教学目标知识技能：1掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。过程方法：1通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。2通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的
2、学习兴趣和创新意识。三、教学重点，难点分析重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。难点：椭圆标准方程的建立和推导。2关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。四、教法建议1安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。2对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的图片或教具，让学生
3、从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。3将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。4注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。5推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。6讲解完焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在 y 轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。7在学习新知识的基础上要巩固旧知识。8要突出教师的指导作用，又要强调学生的主体作用，课堂上尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出猜想，由基础较3好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队
4、精神。五、课前准备1、每人准备一根细绳、一卷胶带。2、圆锥曲线模型。六、教学基本流程 七、教学过程设计问题 设计意图 师生活动1、我们在基础模块下册中，已学习圆的知识，请同学们用集合在数学学习中，我们可以用类比方法由学习、熟悉的知识引入小组学生在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆。让学生观回忆圆的定义，及画法类比画出椭圆，引出椭圆定义根据条件，建立椭圆的标准方程例题及练习小结与布置作业4的观点叙述圆的定义。 新的知识。 察、回答圆的定义。问 题 设计意图 师生活动2、同学们，除了大家所熟悉的圆，还有另一种圆锥曲线-椭圆。请大家举例生活中椭圆的形象。让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成
5、正确的概念。 （各小组举例生活中有哪些椭圆）学生思考、回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示截面是椭圆的图片。3、如何画椭圆的呢？ 培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。学生思考、试验。教师可提示采用线绳画。1固定在两点F1、 F2，2细绳长用 2a 表示 2a F1F23套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。4、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足培养学生观察能力、归纳总结能力，为形分析画图过程中的“变”与“不变”的5的几何条件是什么？ 成椭圆定交奠定基础。 条件 M F1，M F2 都在变化，但MF 1+MF 2 的长度保持不变。问 题 设计意图 师生活动5、如何描述动点 M所满足的
6、几何条件。整理试验，归纳抽象成数学问题。把平面内与两个定点F1， F2，的距离之和等于常数（大于F 1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书） 。6、如何用集合表示M 点所满足的几何条件。使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。学生回答：教师板书P=M MF 1+ MF2 =2a7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？推导曲线方程时，建立坐标系要适当。 （推导过程较难，培养学生团队合作能力）师生共同分析椭圆的特征（如：对称性） ，使方程比较简单；以线 F1F2 的中心为原心，以 F1F2 垂直平分线为Y 轴，建立直角坐标系。6
7、完成“建系” ，设动点 M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为 2c（C 0） ，则 F1（C，0） ，F 2（C，0） ，又设 M 与 F1F2 的距离和等于 2a（板书）问 题 设计意图 师生活动8、请同学们来表示M 到 F1F2 的距离MF 1，MF 2巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。MF 1= 2)(ycxMF 2=由 P=MMF 1+MF 2=2a得 + =2a2)(ycx2)(ycx9、如何整理化简上式。 学习巩固根式化简，两边平方。找两位同学板演，其余同学自己完成，化简到：10、观察下图，找出表示 a、c、 的2c线段Y确定 a、b 、c 的几何定义及其关系
8、通过观察 y 轴是 F1 F2的中垂线，P 到 F1 F2的距离相等，OF1，OF 2 被 y 轴平分，所以：X PF 1=PF 2=a,OF 1=OF 2=c,F1 O F2)()( 222cayxca7P0 = 2ca由P0 = ,令 b= ,b2=a2-c2 即代入2ca2ca得椭圆形标准方程： 12byx根据上图知：ab 0问 题 设计设计意图 师生活动11、对于椭圆形标准方程(ab0)的12byax特点是什么？还有什么结论。适时总结归纳，区分焦点在 X 轴与 Y 轴的不同。学生讨论，教师板书。(ab012byax)的焦点在 X 轴上；a -b =c （结论）22)()( 22yxca
9、812、P 38 思考Y F2MXF1推导焦点在 Y 轴上的椭圆标准方程学生已有推导焦点在x 轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成1设出动点，焦点坐标，注：特别教师焦头烂额坐标，应在 y 轴上2列出相等关系（定义）3化简整理，得椭圆的另一标准方程 122bxay13、椭圆的另一个标准方程（abc ）有12xay什么特点，有什么结论？对比上一个焦点在 x轴上的椭圆标准方程1交点在 y 轴上2a 2-b2=c2（结论）问 题 设计设计意图 师生活动例 1P38求标准方程区别焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标志方程由学生独立思考，发表
10、各自的想法，教师适时引导，强调要注意的问题，及时总结：91确定要设的椭圆标准方程2要求椭圆标准方程，即要求 a，b3恰当列出含a， b， c 的方程4相等关系 a2-b2=c2练习：写出适合下列条件的椭圆方程1a=4，b=1，焦点在 x 轴上。2a=4，c=，焦点在 y 轴上。3a+b=10 ，c=2分析：以上练习较简单，其目的为了巩固求椭圆标准方程，及区别焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上的椭圆标准方程小组评价：根据学生小组本节课表现，作出评价，以提高学生学习兴趣小结：以提问形式1椭圆是怎样的点的轨迹？2椭圆的标准方程是怎样的？3椭圆的两个标准方程有什么区别？布置作业：课本习题 2.1A 组 P341 题
