《高考数学总复习-上海版6-数列与极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习-上海版6-数列与极限（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015高考数学辅导资料-上海版第七章 数列与数学归纳法基础部分1.数列的有关概念1）按一定次序排列的一列数称为数列； 2）数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3 ）解析法；（4）递推法 3） an 与 Sn 的关系： ；1n+na=S,-2【数列分析的主要方法】 1）给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归； 2）数列前 n 项的和 Sn 和通项 an 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 时，一定要注意n+1na=S-条件 n2 ，求通项时一定要验证 a1 是否适合2.等差数列等差数列a n的通项公式， ，公差为 d n1a()前 n 项和公式， 12na
2、()Sd【等差数列的典型性质】如果 mnpq ，则 am +an= ap +aq如果S m表示数列前 m项的和，则 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m成等差数列，公差为m 2d【G1302W-B】在等差数列 中，若 a1+ a2+ a3+ a4=30，则 a2+ a3= .n解 ： 因 为 数 列 an是 等 差 数 列 ， 根 据 等 差 数 列 的 性 质 有 ： a1+a4=a2+a3，由 a1+a2+a3+a4=30， 则 a2+a3=15 故 答 案 为 153.等比数列等比数列a n的通项公式， ，公比为 q；1n前 n 项和公式， ，q1n11a(q.)()S【类比】 nn2
3、nr1n1xy()xy.x.y)【等比数列的典型性质】如果 mnpq ，则 am.an= ap .aq；*非 0 常数项既是等差数列，也是等比数列；【G1322W-B】(3+5+8 分)已知函数 ，无穷数列 满足 an+1=f(an),nN *x2)(fn（1）若 a1=0，求 a2，a 3，a 4；（2）若 a10，且 a1，a 2，a 3成等比数列，求 a1的值.（3）是否存在 a1，使得 a1，a 2，a n成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由.4.简单的递推数列2. 递归数列数列的连续若干项满足的等量关系 ank f（a nk1 ，a nk2 ，a n）称为数列
4、的递归关系由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列如由 an1 2a n1，及 a11，确定的数列 12n即为递归数列数列的递推公式 如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第 2 项(或某一项 )开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关n1na系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想（2）迭代法（3）代换法包括代数代换，对数代数，三角代数（4）作新数列法最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题【G1214W-A】已知 ，各项均为正数的数列 满足 ， ，若 ，
5、则1()fxna12()nnaf2012a的值是 201a解： ， ， ， ， ， ， ，类似斐波那契数列； 21()nnnfaa3125a73958a13，则 ，2012201a2021201 5265.数列的极限【数列的极限】数列的极限是指对于数列a n，无限趋近于一个唯一的常数；极限与趋近方式无关。如数列 ，nalim1.na证明： 时，2 .2121 02 nnn【极限的四则运算】若 ,nlimaAnlibB则 ； ， ，nli()nlim(ab)ABnalimbB0极限的求法原则一：先化简约分，再代入求值原则二：舍低次留高次，对于（1，-1）区间的数，舍高次留低次；原则三：对于指数不
6、一致的项式，先化简成指数一致的；【G1102W-C】 。3lim(1)n解： = =2.lin n3106.无穷等比数列各项的和无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 的公比 q 的绝对值小于 1，则其各项的和 S 为21,.,.naqa1,aSq【G1206-B&W7 】有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 ，212,.,.nV则 _ 12lim(.)nnV答案：8/7【G0814-C】.若数列an是首项为 l，公比为 的无穷等比数列，且 an各项的和为
7、 a，则 a 值是（32a）（A）1. (B)2. (C) (D)154解析： ，解得1=()Saq2a7.数列的实际应用问题1）数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：a n 1sn12（2）求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列累差叠加法最基本的形式是：a n（a na n1 ）（a n1 a n2 ）（a 2a 1）a 1归纳、猜想法（3）数列前 n 项和重要公式：等差和等比数列的求和公式12n 21n（n1） ；122 2n 2 6n（n1） （2n1） ；132 3n 3（12n） 2 4n2（n1） 2；裂项相消法将数列的通项分成两个式子的代数和，
8、即 anf（n1） f（n） ，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如： )()( CABCAnBan 、 )(1 等错位相减法（可用于推导等比数列前 n 项和公式）对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错位相减法 ncba， 其中nb是等差数列， nc是等比数列，记 ncbcbS121 ，则1211nqScb ，分组转化求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求 Sn倒序相加法（可用于推导等差数列前 n 项和公式）2）求递推公式递推数列求通项的特征归纳（1 ）累加法 1()naf（2 ）累乘法 nf（3
9、 ）化归法： ；1(0,1)naAB1()nnaA)1B 2nnapq21()ap（4 ）归纳法：计算项数 a2，a3，a4 的规律特征，然后证明（5 ）倒数法：常见 是等差数列1nn1n1na8.数学归纳法数学归纳法的原理：命题的初始项成立，并存在递推关系【步骤】（1 ）当 n=1（或其它初始项）时，原命题成立；（2 ）假设当 n=k 时，原命题成立，证明当 n=k+1 时，原命题也成立；（3 ）给出结论【例题】已知 m 为正整数。.用数学归纳法证明：当 x-1 时， （1+x） m1+mx；（）证：用数学归纳法证明：【解析】 （i）当 m=1 时，原不等式成立；当 m=2 时，左边1+2x
10、+x 2,右边1+2x,因为 x20,所以左边右边，原不等式成立；（ii）假设当 m=k 时，不等式成立，即（1+x） k1+kx，则当 m=k+1 时，两边同乘以 1+x 得xxx 1,01, 不不，xkxkxkxk )1()1()1()1( 2所以 时，不等式也成立。,m不综合（i） （ii）知，对一切正整数 m，不等式都成立.9.归纳猜测论证对于命题，先归纳出几个特例是否成立；然后进行猜测结论，最后对结论进行论证；对于数列类型命题，可先求出初始项，再猜测和论证；习题部分1.等差数列的分析【G1310-B】设非零常数 d 是等差数列 的公差，随机变量 等可能地取值 ，则12319,xx 1
11、2319,xx方差 _D解析： ， ；10x22(9)8.d202.等比数列的分析【G1118-C】设 是各项为正数的无穷数列， 是边长为 的矩形的面积（ ） ，则 为等比naiA1,ia1,2i nA数列的充要条件是（ ）A 是等比数列 B 或 是等比数列n 1321,n 242,na C 和 均是等比数列1321,na 242,na D 和 均是等比数列，且公比相同 解析： 为等比数列 ，选 D；nA12iiqa【G1423W-A*】已知数列 满足 .n113,*,nnaN（1 ） 若 ，求 的取值范围；234,9axax（2 ） 若 是等比数列， ，求 正 整 数 m 的 最 小 值 ，
12、 以 及 m 取 最 小 值 时 相 应 an的 公 比 ； ；n10m（3 ） 若 成等差数列， ， 求 数 列 a1， a2， a100 的 公 差 的 取 值 范 围1210,.【G1423-A】已知数列 满足 .na113,*,nnaNa（1 ） 若 ，求 的取值范围；234,9xx（2 ） 若 是公比为 等比数列， ， 求 的取值范围；naq12nnSa 13,*,nSNq（3 ） 若 成等差数列，且 ，求正整数 的最大值，以及 取最大值时相12,k 0k kk应数列 的公差.a解（1）由条件得 且 ，解得 . 所以 x 的取值范围是3,6.63x93x6x（2 ）由 ，且 ,得 ，所以n10naqna13nS又 ，所以na13当 时， ，由 得 成立q1,S11n当 时， 即11nnq 若 ，则 ，13q()2nq由 ，得 ，所以,nN12.q 若 ，则3()n由 ，得 ，所以,nq32q3综上，q 的取值范围为 1,（3 ）设 的公差为 ，由 ，且1,2.kad13nna1a得 ，()31()nd,2.,.k即 ,2)3(,.k当 时， ；1nd当 时，由 ，得 ，,.k213n21dn所以 .所以 1000= ，即213dka)( 12)(k,0102k解得 ， 所以 的最大值为 1999，当 时， 的公差为9.kk912,.a9
