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1、四 角三角形的射影定理1射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段(3)射影：点和线段的正射影简称为射影2射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项(2)图形语言：如图，在RtABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB.射影定理的有关计算如图，在RtABC中，CD为斜边AB上的高，若AD2 cm，DB6 cm，求CD，AC，BC的长在直角三角形内求线段的长度
2、，可考虑使用勾股定理和射影定理CD2ADDB2612，CD2(cm)AC2ADAB2(26)16，AC4(cm)BC2BDAB6(26)48，BC4(cm)故CD，AC，BC的长分别为2 cm,4 cm，4 cm.(1)在RtABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条1.如图，在ABC中，ABm，BACABCACB123，CDAB于点D.求BD，CD的长解：设BAC的度数为x，则由BACABCACB123，得ABC的度数为2x，ACB的度数为3x.因为BACABCACB180，所以x
3、2x3x180，解得x30.所以ABC60，ACB90.因为ABm，所以BCm.又因为CDAB，所以BC2BDAB，即2BDm.所以BDm.ADABBDmmm.由CD2ADBDmm m2，得CD m.因此，BD的长是m，CD的长是m.2已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为ACBC34.求：(1)ADBD的值；(2)若AB25 cm，求CD的长解：(1)AC2ADAB，BC2BDAB，.22.(2)AB25 cm，ADBD916，AD259(cm)，BD2516(cm)CD12(cm).利用射影定理证明如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DFAC，DG
4、BE，F，G分别为垂足求证：AFACBGBE.先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论CD垂直平分AB，ACD和BDE均为直角三角形，且ADBD.又DFAC，DGBE，AFACAD2，BGBEDB2.AD2DB2，AFACBGBE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明3如图，RtABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上求证：EF2BEFC.证明：过点A作AHBC于H.则DEAHGF.，.又AH2
5、BHCH，DEGFBEFC.而DEGFEF，EF2BEFC.4.如图，已知CAB90，ADCB，ACE，ABF是正三角形，求证：DEDF.证明：在RtABC中，AC2CDCB，AB2BDBC，AD2CDBD.所以 .因为ACAE，ABBF，所以.又FBD60ABD，EAD60CAD，ABDCAD，所以FBDEAD，所以EADFBD.所以BDFADE.所以FDEFDAADEFDABDF90.所以DEDF.课时跟踪检测(五)一、选择题1已知RtABC中，斜边AB5 cm，BC2 cm，D为AC上一点，DEAB交AB于点E，且AD3.2 cm，则DE等于()A1.24 cm B1.26 cm C1.
6、28 cm D1.3 cm解析：选C如图，AA，RtADERtABC，DE1.28 (cm)2已知直角三角形中两直角边的比为12，则它们在斜边上的射影比为()A12 B21 C14 D41解析：选C设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，两直角边在斜边上的射影分别为和.3一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为()A7.2 cm2 B6 cm2 C12 cm2 D24 cm2解析：选B长为3 cm的直角边在斜边上的射影为1.8(cm)，由射影定理知斜边长为5(cm)，三角形面积为52.46(cm2)4如图所示，在ABC中，ACB90，CD
7、AB，D为垂足，若CD6 cm，ADDB12，则AD的长是()A6 cm B3 cm C18 cm D3 cm解析：选BADDB12，可设ADt，DB2t.又CD2ADDB，36t2t，2t236，t3(cm)，即AD3 cm.二、填空题5若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为_解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长答案：6如图所示，四边形ABCD是矩形，BEF90，这四个三角形能相似的是_解析：因为四边形ABCD为矩形，所以AD90.因为BEF90，所以AEBDEF90.因为DEFDFE90，所以AEBDFE.所以ABEDEF.答案：7如图，在RtAB
8、C中，ACB90，CDAB，AC6，AD3.6，则BC_.解析：由射影定理得，AC2ADAB，BC2BDAB，即BC2.又CD2ADBD，BD.BC264.BC8.答案：8三、解答题8如图所示，D为ABC中BC边上的一点，CADB，若AD6，AB10，BD8，求CD的长解：在ABD中，AD6，AB10，BD8，满足AB2AD2BD2，ADB90，即ADBC.又CADB，且CCAD90.CB90，即BAC90.故在RtBAC中，ADBC，由射影定理知AD2BDCD，即628CD，CD.9.如图，AD，BE是ABC的两条高，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H.求证：DF
9、2GFHF.证明：在AFH与GFB中，因为HBAC90，GBFBAC 90，所以HGBF.因为AFHGFB90，所以AFHGFB.所以，所以AFBFGFHF.因为在RtABD中，FDAB，所以DF2AFBF，所以DF2GFHF.10已知直角三角形的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为35两部分(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长解：(1)如图，设CD3x，BD5x，则BC8x，过D作DEAB，由题意可得，DE3x，BE4x，AEAC12x48.又AEAC，AC246x，AB242x.(246x)2(8x)2(242x)2，解得x10(舍去)，x22.AB20，AC12，BC16，三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CFAB于点F，AC2AFAB.AF(cm)；同理，BF(cm)两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.
