高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系优化练习 新人教A版选修2-1

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1、第2课时 空间向量与垂直关系课时作业A组基础巩固1设A是空间一定点,n为空间内任一非零向量,满足条件n0的点M构成的图形是()A圆 B直线C平面 D线段解析:M构成的图形是经过点A,且以n为法向量的平面答案:C2已知(2,2,1),(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为()A. B.C. D.解析:设平面ABC的法向量为n(x,y,z),则有取x1,则y2,z2.所以n(1,2,2)由于|n|3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是.答案:B3在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析:建立如图所示的空间直角坐标系

2、设正方体的棱长为1.则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E,(1,1,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)(1)(1)010,CEBD.答案:B4已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若,则点P的坐标为()A. B.C. D.解析:(x,1,z),(1,1,1),(2,0,1),0,0.x,z.答案:A5如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1EA1D,AFAC,则()AEF至多与A1D,AC之一垂

3、直BEFA1D,EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析:建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则(1,0,1),(0,1,0)(1, 0,0)(1,1,0),E(,0, ),F(,0),(,),0,0,EFA1D,EFAC.答案:B6若直线l的方向向量e(2,1,m),平面的法向量n(1,2), 且l,则m_.解析:平面的法向量即为平面的法线的方向向量,又l,en,即en(0),亦即(2,1,m),m4.答案:47在直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x,1,3),其中x0

4、,若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为_解析:由OPOQ,所以0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0,x或x.答案:或8ABC的三个顶点分别是A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),则AC边上的高BD长为_解析:(5,6,2)(1,1,2)(4,5,0),(1,3,1)(1,1,2)(0,4,3),cos,sin,AC边上的高为|AB|sin,5.答案:59.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,且PAAD,E,F分别为线段AB,PD的中点求证:(1)AF平面PEC;(2)AF平面PCD.证明

5、:以A为原点,向量,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示设ABa,PAAD1,则P(0,0,1),C(a,1,0),E,D(0,1,0),F.(1),又AF平面PEC,AF平面PEC.(2)(0,1,1),(a,0,0),(0,1,1)0,(a,0,0)0,即AFPD,AFCD,又PDCDD,AF平面PCD.10.如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CBC1CDBCD.(1)求证:C1CBD;(2)当的值为多少时,能使A1C平面C1BD?并给出证明解析:(1)证明:设a,b,c.依题意,|a|b|.,中两两所成的夹角为,于是ab,

6、c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0,.C1CBD.(2)若使A1C平面C1BD,只需A1CBD,A1CDC1,由()()(abc)(ac)|a|2abbc|c|2|a|2|c|2|b|a|cos |b|c|cos 0,当|a|c|时,A1CDC1,同理可证当|a|c|时,A1CBD,1时,A1C平面C1BD.B组能力提升1.如图,已知矩形ABCD,AB1,BCa,PA平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQQD,则a的值等于()A2 B3C4 D6解析:如图,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,a,0)设Q(1,x,0)(0xa)P(0,0,z)则(1,x,z),(

7、1,ax,0)由PQQD,得1x(ax)0,即x2ax10.由题意知方程x2ax10只有一解a240,a2,这时x10,a答案:A2已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是()A BC D解析:2240,APAB,正确;440,APAD,正确;由知是平面ABCD的法向量,正确不正确答案:C3在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是DD1,D1C1的中点,则关于直线OM下列说法正确的是_是AC和MN的公垂线;垂直于AC,但不垂直于MN;垂直于

8、MN,但不垂直于AC;与AC,MN都不垂直解析:以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),C(0,1,0),O,M,N,则(1,1,0),0,0,即选项正确答案:4在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA1,AD2,点P为C1D1的中点,点M为BC的中点,则APM的面积为_解析:建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0),M(,2,0),P(0,1,),cos,sin,SAPM| |sin,23.答案:35.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点(1)求证:A1EBD;(2)若平面A1BD平面EBD,试确定E点的位置证明:

9、以D为坐标原点以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为a.(1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a)设E(0,a,z),则(a,a,za),(a,a,0),a2a2(za)00.,即A1EBD.(2)E为CC1的中点证明如下:若E是CC1的中点,则E,设BD的中点为O,连接AC,OE,A1O.则O,(a,a,0),则0,00,A1OE为二面角A1BDE的平面角0,则A1OE90,平面A1BD平面EBD.当E为CC1的中点时,能使平面A1BD平面EBD.6.已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AB

10、DC,DAB90,PD底面ABCD,且PDDACD2AB2,M点为PC的中点(1)求证:BM平面PAD;(2)在平面PAD内找一点N,使MN平面PBD.解析:(1)证明:PD底面ABCD,CDAB,CDAD.以D为坐标原点,分别为x轴,y轴,z轴正方向向量,建立空间直角坐标系(如图所示)由于PDCDDA2AB2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),(2,0,1),(0,2,0),平面PAD,是平面PAD的法向量,且0,平面PAD.BM平面PAD.(2)设N(x,0,z)是平面PAD内一点,则(x,1,z1),(0,0,2),(2,1,0),若MN平面PBD,则即在平面PAD内存在点N,使MN平面PBD.

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