《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案（含解析）新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案（含解析）新人教A版选修1-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、31.1 & 3.1.2变化率问题导数的概念平均变化率提出问题假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量x，y分别是多少？提示：自变量x的改变量为xx2x1，函数值的改变量为yy2y1.问题2：y的大小能否判断山路的陡峭程度？提示：不能问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，可近似地刻画问题4：能用刻
2、画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡；反之，山路越缓问题5：从点A到点B和从点A到点C，两者的相同吗？提示：不相同导入新知函数的平均变化率对于函数yf(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1 的一个“增量”，可用x1x代替x2.类似地，yf(x2)f(x1)于是，平均变化率可表示为.化解疑难1正确理解增量x
3、与yx是自变量x在x0处的改变量，不是与x的乘积，x的值可正，可负，但不能为0.y是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化2平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.导数的概念提出问题一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间问题1：试求质点在1,1t这段时间内的平均速度提示：63t.问题2：当t趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？提示：当t趋近于0时，趋近于6.这时的平均速度即为t1时的瞬时速度导入新知1瞬
4、时速度的概念物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：设物体运动的路程与时间的关系是ss(t)，当t趋近于0时，函数s(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速度2导数的定义函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率：，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).化解疑难导数概念的理解(1)导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在xx0处及其附近的函数值有关，与x无关(2)f(x0)是一个常数，即当x0时，存在一个常数与无限接近求函数的平均变化率例1求函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变
5、化率的值解函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.类题通法求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y.求平均变化率的主要步骤是：(1)计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.活学活用已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快解析：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为；自变量x从3变到5时，函数
6、f(x)的平均变化率为.因为，所以函数f(x)x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.求函数在某点处的导数例2根据导数的定义求下列函数的导数(1)求函数yx23在x1处的导数； (2)求函数y在xa(a0)处的导数解(1)yf(1x)f(1)(1x)23(123)2x(x)2，2x.y|x1(2x)2.(2)yf(ax)f(a)，.y|xa .类题通法求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤活学活用已知函数yf(x)ax2c且f(1)2，求a的值解：f(1) (2aax)2a2.a1，即a的值为1.求瞬时速度例3若一物体的运动方程为s(路程单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在t3 s到
7、t5 s这段时间内的平均速度；(2)物体在t1 s时的瞬时速度解(1)因为s3522(3322)48，t2，所以物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度为24(m/s)(2)因为s293(1t)32293(13)23(t)212t，所以3t12，则物体在t1 s时的瞬时速度为s(1) (3t12)12(m/s)类题通法求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度，；(3)取极限，；(4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v.活学活用一质点按规律s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解
8、：因为ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat.故在t2 s时，瞬时速度为s(2)4a(m/s)由题意知，4a8，所以a2.典例已知f(x)在xx0处的导数为4，则_.解析 22f(x0)248.答案8易错防范1本题中x的增量是2x，即(x02x)x02x，而分母为x，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案2在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致成功破障求.解：令xh，则f(x)随堂即时演练1已知函数y2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x，1y)，则等于()A4 B4xC42x
9、 D42(x)2解析：选C42x.2如果函数yaxb在区间1,2上的平均变化率为3，则a的值为()A3 B2 C3 D2解析：选C根据平均变化率的定义，可知a3.3一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.解析：7t14t0，当(7t14t0)1时，t0.答案：4已知曲线y1上两点A，B2x，y，当x1时，割线AB的斜率为_解析：x1,2x3，y.kAB.答案：5求yf(x)2x21在x0到x0x之间的平均变化率，并求x01，x时平均变化率的值解：当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为4x02x，当x01，x时，平均变化率的值为4125.课时达标检测一、选择题1当自变
10、量从x1变到x2时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A在区间x1，x2上的平均变化率B在x1处的变化率C在x2处的变化量D在区间x1，x2上的导数解析：选A平均变化率是指函数值的变化量与相应自变量的变化量之比2质点运动规律st23，则在时间3,3t中，相应的平均速度等于()A6t B6tC3t D9t解析：选A6t.3如果质点M按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为()A6 B18C54 D81解析：选Bvli li li 18.4函数yx2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()Ak1k2 Bk1k2Ck1k2
11、D不确定解析：选Dk12x0x，k22x0x.因为x可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定5设函数在x1处存在导数，则li ()Af(1) B3f(1)C.f(1) Df(3)解析：选Cli li f(1)二、填空题6将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为_解析：Vm313(m31)，即m2m17，解得m2或m3(舍去)答案：27如图是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_解析：由函数f(x)的图象知，f(x)所以，函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.答案：8当h无限趋近于0时， _.解析
12、： (6h)6.答案：6三、解答题9已知函数f(x)138xx2，且f(x0)4，求x0的值解：f(x0)li li li li (82 x0x)82 x0，82 x04.x03 .10一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移：m，时间：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度解：(1)初速度v0li li li (3t)3(m/s)即物体的初速度为3 m/s.(2)vli li li li (t1)1(m/s)即此物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反(3)1(m/s)即t0到t2时的平均速度为1 m/s.
