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1、第三章 数系的扩充与复数的引入时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1复数i(32i)(C)A23iB32iC23iD32i解析i(32i)3i2i23i2，故选C2(2016北京文，2)复数(A)AiB1iCiD1i解析i.3(2016云南芒市一中高二检测)已知i为虚数单位，则(B)AiBiCiDi解析i.4复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内对应的点位于(D)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析z(3i)(1i)42i，所以复数z对应的点Z(4，2)在第四象限5设z1i(i是
2、虚数单位)，则z2等于(C)A1iB1iC1iD1i解析z2(1i)21i2i1i.6若x是纯虚数，y是实数，且2x1iy(3y)i，则xy等于(D)A1iB1iC1iD1i解析设xit(tR且t0)，于是2ti1iy(3y)i，1(2t1)iy(3y)i，.xy1i.7设xR，则“x1”是“复数z(x21)(x1)i为纯虚数”的(A)A充分必要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析z是纯虚数x1，故选A8已知复数z满足12i，则(D)A43iB43iCiDi解析由12i，得zi，i.9若zcos isin ，则使z21的值可能是(B)A0BCD2解析z2cos2 2i
3、sin cos sin2 cos 2i sin 21，.10若复数zlg(m22m2)ilg(m23m3)为实数，则实数m的值为(C)A1B4C1或4D以上都不对解析由已知，得，即，解得m1或4.11已知复数z，则复数z在复平面内对应的点位于(A)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析inkZ，ii2i3i2 013503(ii2i3i4)i2 0135030ii，z，在复平面内的对应点(，)在第一象限12对任意复数1、2，定义12，其中2是2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，有如下四个命题：(z1z2)*z3(z1(B)A1B2C3D4解析1左边(z1z2)3，右边z1z2(z1
4、z2)，左边右边，正确左边z1()z1()，右边z1z1z1()，左边右边，正确左边(z1)，右边z1(z2)z1(z3)，左边右边，不正确左边z1，右边z2，左边右边，不正确，选B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13已知(xi)(1i)y，则实数x_1_，y_2_.解析(xi)(1i)xxii1(x1)(1x)iy，.14若复数z12i(i为虚数单位)，则zz_62i_.解析z12i，12i，zz(12i)(12i)12i512i62i.15若复数z满足z|z|34i，则z4i.解析设复数zabi(a、bR)，则，.z4i.16已知复数zabi(
5、a、bR)且，则复数z在复平面对应的点位于第_四_象限.解析a、bR且，即，5a5ai2b4bi155i，解得.复数zabi710i在复平面内对应的点位于第四象限三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)m为何实数时，复数z(2i)m23(i1)m2(1i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？解析z(2i)m23(i1)m2(1i)2m2m2i3mi3m22i(2m23m2)(m23m2)i.(1)由m23m20得m1或m2，即m1或2时，z为实数(2)由m23m20得m1且m2，即m1且m2时，z为虚数(3)由，得m，即m时，
6、z为纯虚数18(本题满分12分)已知z1i，a、bR.若1i，求a、b的值.解析z1i，z22i，所以a2(ab)i1i.所以，所以.19(本题满分12分)已知z1、z2为复数，(3i)z1为实数，z2，且|z2|5，求z2.解析设z1xyi(x、yR)，(3i)z1(3i)(xyi)3xy(x3y)i，x3y0，x3y.z2yyi，|z2|5，|z2|250，(y)2y250，y5，当y5时，z255i，当y5时，z255i.20(本题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求ABC的面积解析(1)设zab
7、i(a、bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1,1)、B(0,2)、C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以SABC211.21(本题满分12分)设zlog2(1m)ilog(3m)(mR).(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；(2)若z在复平面内对应的点在直线xy10上，求m的值解析(1)由已知，得解得1m0.解得m2.故不等式组的解集为m|1m0，因此m的取值范围是m|1m0，且3m0.故m1.22(本题满分12分)已知复数z1i(1i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值分析(1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合解析(1)z1i(1i)3i(2i)(1i)2(1i)，|z1|2.(2)解法一：|z|1，设zcosisin，|zz1|cosisin22i|.当sin()1时，|zz1|取得最大值，从而得到|zz1|的最大值21.解法二：|z|1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，2)|zz1|的最大值可以看成点(2，2)到圆上的点距离最大，则|zz1|max21.
