《高中数学 第三章 导数及其应用能力深化提升（含解析）新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用能力深化提升（含解析）新人教A版选修1-1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 导数及其应用能力深化提升类型一导数与曲线的切线【典例1】(1)已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为()A.1B.1C.-1D.-2(2)设抛物线C1:y1=x2-2x+2与抛物线C2:y2=-x2+ax+b在它们的一个公共点处的切线互相垂直.求a,b之间的关系;若a0,b0,求ab的最大值.【解析】(1)选A.设切点为(x0,y0),则y0=3x0+1,且y0=a+3,所以3x0+1=a+3.对y=ax3+3求导得y=3ax2,则3a=3,a=1.由可得x0=1,所以a=1.(2)依题意y1=2x-2,y2=-2x+a,设它们的公共点为P(x0,y0),因为在P点切
2、线互相垂直.所以(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4-2(a+2)x0+2a-1=0,(i)则=4(a-2)2+40.又因为y0=-2x0+2,且y0=-+ax0+b,相减得:2-(a+2)x0+2-b=0,(ii)由(i)(ii)消去x0得:2b+2a=5,即a+b=.由得ab=,当且仅当a=b=时上式取等号,所以ab的最大值为.【方法总结】根据切点求切线方程的两种情况利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种:(1)求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可得.(2)求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点
3、,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f(x1)(x0-x1).又y1=f(x1);由求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.类型二导数与函数的单调性【典例2】已知函数f(x)=(x+1).(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若对于任意的x1,+),f(x)a(x-1)恒成立,求a的范围.【解析】(1)x1时,f(x)=(x+1)lnx,f(x)=1+lnx0,f(x)在(1,+)上递增;0x0,f(x)在(0,1)上递增,f(x)f(1)=-22,存在x0(1,+),使得g(x0)=0,当
4、x1,x0)时,g(x)0,g(x)递减,存在g(x)0或f(x)0时,令3x2-a=0得x=,当x或x0;当-x时,f(x)0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数.类型三利用导数求函数的极值、最值【典例3】设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数,其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f(x)的最小值为-12.(1)求a,b,c的值.(2)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,所以c=0,因为f(x)=3ax2+b
5、的最小值为-12.所以b=-12.又直线x-6y-7=0的斜率为.因此f(1)=3a+b=-6,所以a=2,b=-12,c=0.(2)因为f(x)=2x3-12x,f(x)=6x2-12=6(x+)(x-),列表如下:x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)极大极小所以函数f(x)的单调增区间是(-,-)和(,+),单调减区间是(-,).因为f(-1)=10,f()=-8,f(3)=18.所以f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18.最小值是f()=-8.【方法总结】求函数f(x)在闭区间a,b上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a,b)内的极值.(2)将(1
6、)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.特别地,当f(x)在(a,b)上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得,当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值.【巩固训练】设af(a),f(1)f(-1),故需比较f(0)与f(1)的大小.因为f(0)-f(1)=a-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b.所以b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)0,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-a+b=-a,所以-a=-,所以a=.综上a=,b=1.类型四利
7、用导数求参数的范围【典例4】已知函数f(x)=ax+xlnx(aR).(1)若函数f(x)在区间e,+)上为增函数,求a的取值范围.(2)当a=1且kZ时,不等式k(x-1)f(x)在x(1,+)上恒成立,求k的最大值.【解题指南】(1)f(x)在区间e,+)上为增函数,则f(x)0在e,+)上恒成立,由此可得a-(lnx+1)在e,+)上恒成立.(2)不等式k(x-1)f(x)在x(1,+)上恒成立,可转化为k1恒成立.【解析】(1)f(x)=a+lnx+1,即由题意知f(x)0在e,+)上恒成立.即lnx+a+10在e,+)上恒成立,即a-(lnx+1)在e,+)上恒成立,而-(lnx+1
8、)max=-(lne+1)=-2,所以a-2.(2)f(x)=x+xlnx,k,即k1恒成立,令g(x)=,则g(x)=,令h(x)=x-lnx-2(x1),则h(x)=1-=0h(x)在(1,+)上单调递增.因为h(3)=1-ln30,所以存在x0(3,4)使h(x0)=0,即当1xx0时,h(x)0,即g(x)x0时,h(x)0,即g(x)0,所以g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增.令h(x0)=x0-lnx0-2=0,即lnx0=x0-2,g(x)min=g(x0)=x0(3,4).所以k0(或f(x)0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数,若对x0
9、,方程f(x)=-2c2有解,求c的取值范围.【解析】由题意知f(1)=-3-c,因此b-c=-3-c,从而b=-3.对f(x)求导,得f(x)=4ax3lnx+ax4+4bx3=x3(4alnx+a+4b).由题意,知f(1)=0,因此a+4b=0,解得a=12.则f(x)=48x3lnx(x0),令f(x)=0,解得x=1.当0x1时,f(x)1时,f(x)0,此时f(x)为增函数.所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,此极小值也是最小值.所以函数f(x)的值域为-3-c,+).若对x0,方程f(x)=-2c2有解,则-2c2属于函数f(x)的值域,所以-2c2-3-c,即2
10、c2-c-30,解得-1c,所以c的取值范围为.类型五原函数与导数图象间的关系【典例5】已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图象大致是()【解析】选C.当0x1时,xf(x)0,所以f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数,排除A,B选项.当1x0,所以f(x)0,故y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除D.【方法总结】利用导数符号判断原函数单调性研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.【巩固训练】设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()【解析】选C.由图可知函数应在区间(0,2)上单调递减,在区间(-,0)和(2,+)上单调递增,只有选项C符合题意.
