闭环极点的和与积课件

《闭环极点的和与积课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《闭环极点的和与积课件（93页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、,主要内容 41 根轨迹的基本概念 42 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 43 广义根轨迹 44 滞后系统的根轨迹 45 利用根轨迹分析系统的性能 46 用MATLAB绘制系统的根轨迹,第四章 线性系统的根轨迹分析,41 根轨迹的基本概念,广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。,狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到。,K0时,根轨迹图系统的相关动静态性能信息,2）闭环极点不可能出现在S平面右半 部，系统始终稳定。,!系统开环增益确定 闭环极点在S平面上的位置也确定。,闭环零、极点与开环零、极点间的关系,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,前向通道增益

2、,开环系统根轨迹增益,前向通道零点,反馈通道零点,前向通道极点,反馈通道极点,m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。,1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；,2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；,！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。,42 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件,二、绘制根轨迹的基本规则,三、闭环极点的确定,一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件

3、,根轨迹方程,m个零点 n个极点 （nm）,幅值条件,K2,幅值条件成立！,不是根轨迹上的一点,根轨迹上的一点,必要条件： S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条 件成立； S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一 定是根轨迹上的点。,幅值条件是必要条件,开环极点（“”）,p1=0,开环零点（“”）,!幅角均以反时针方向进行。,如果幅角条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。, 1开环零点至s1的幅角,1、2、3、4：开环极点至s1的幅角。,由幅值条件,幅角条件绘制根轨迹，幅值条件定K值,单位反馈系统的开环传递函数,一个开环极点 P1=0,负实轴上点 s1,s2=-1-j,负实轴上都是根轨迹

4、上的点！,负实轴外的点都不是根轨迹上的点！,举例,二、绘制根轨迹的基本规则,一、根轨迹的起点和终点,二、根轨迹分支数,三、根轨迹的连续性和对称性,四、实轴上的根轨迹,五、根轨迹的渐近线,六、根轨迹的分离点,七、根轨迹的起始角和终止角,八、根轨迹与虚轴的交点,九、闭环特征方程根之和与根之积,一、根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,幅值条件,二、根轨迹分支数,n阶系统，根轨迹有n个起始点，系统根轨迹有n个分支,2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点， 即 n m。,m条终止于开环零点（有限值零点)；,（nm）条根轨迹分支终止于（nm）个无限 远零点。,1）系统特征方程的阶

5、次为n次特征方程有n个根 K变化(0到 ),n个根随着变化n条根轨迹。,三、根轨迹的连续性和对称性,根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。,闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。,仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。,四、实轴上的根轨迹,如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。,开环零点：z1,开环极点：p1、p2、p3、p4、p5,在实轴区段p2，p3上取试验点s1,每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；,s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0。,

6、s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180；,？,已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。,-1，-2 右侧实零、极点数=3。,-4，-6 右侧实零、极点数=7。,五、根轨迹的渐近线,当系统nm时，有（nm）条根轨迹分支终止于无限远零点。,沿着渐近线趋于无限远处，,渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。,渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，） ：,渐近线与实轴交点的坐标值：,证明,长除法,两边开（nm）次方,1）当k值取不同值时，a 有（nm）个值，而a不变；,2）根轨迹在s时的渐近线为 （nm）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。,说明,已知系统的开环传递函数，试

7、确定根轨迹的渐近线。,根轨迹的渐近线例一,已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。,渐近线与实轴交点：,渐近线与实轴正方向的夹角：,根轨迹的渐近线例二,六、根轨迹的分离点,分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。,分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。,1、b坐标值由分式方程解出,证明,例,2、由 极值点求解b 坐标值由 解出b,证明,例,必要条件：当解得多个s值时，其中k值为正实数时才有效。,3、重根法求解b,证明,由 解出b,分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）,会合（或分离）的根轨迹的条数,分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角,例,r重根,

8、r1,含,两边求导,b,必要条件：!当解得多个s值时，其中k值为正实数时才有效。,-1，-2区间无根轨迹舍去,由 极值点求解,b坐标值由分式方程解出,根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有,或,两式相除,或,即得,解出s1，即为分离点b,已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。,规则4实轴上0到1和2到3两个区域段为根轨迹,规则5根轨迹有两条渐近线（nm2), 令k=0,规则6在实轴上有根轨迹分离点，且在区段2到3之间,由 极值点求解b,假定s点沿实轴自p2点移向p1点, k增益：从零开始逐渐增大， 到达b点时为最大， 逐渐减小， 到p1点时k为零。 根

9、轨迹分离点处所对应的k增益具有极值,？！取在根轨迹上的解。,规则1、2、3、4 根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起始于极点0，4和2j4，终止于无限远零点。 实轴上04区段为根轨迹。,辐角条件 p3、p4的连接线为根轨迹,根据规则5 根轨迹有四条渐近线,七、根轨迹的起始角和终止角,终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。,根轨迹终止角一般计算式(0360 ),例,根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1,相角方程,s1p1,起始角p,四条分支,起始点p10、 p2、30.5+j1.5 、 p42.5,终止点z11.5、z2，3 2j、,实轴上01.5和2.5两区段是根轨迹

10、,取k0,p3和p2为共轭复数， 根轨迹起始角对称。,或,取k1,z2和z3为共轭复数， 根轨迹终止角对称。,八、根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。,系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点 。,闭环特征方程,系统稳定的临界K值： K=6,阵列中s2行元素构成辅助方程,根轨迹与虚轴的交点,系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。,代入系统闭环特征方程,九、闭环特征方程根之和与根之积,系统闭环特征多项式,zi 开环零点,si闭环极点,pi开环极点,闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程 的系数关系：,1）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K无关，是个

11、常数， 且有,2）根之和不变K增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。,根轨迹增益K=3K。,根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，3，1j，终止于零点2和另外三个无限远零点。,实轴上区段02和3为根轨迹。,渐近线与实轴交点坐标为,两条根轨迹分支起始于共轭 复数极点1j,三、闭环极点的确定,例 : 设反馈控制系统的开环传递函数为,若要求闭环系统的阻尼比=0.5,求系统闭环极点。,解：,（1）根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图；,（2）在根轨迹图上画出阻尼比线；,（3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置；,（4）根据幅值条件，求出

12、对应的开环增益；,（5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定其它闭环极点。,阻尼比线,闭环主导极点,闭环主导极点为,根据幅值条件开环增益为,特征方程,43 广义根轨迹,一、参数根轨迹,二、多回路根轨迹,三、正反馈和零度根轨迹,一、参数根轨迹,以系统中任意一个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等） 绘制的根轨迹。,研究参数根轨迹的目的 分析参数变化对系统性能的影响,绘制参数根轨迹图基本原理,常规根轨迹方程：,参数根轨迹方程：,等效开环传递函数,以为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹,例：,系统的开环传递函数为,绘制以为参数的参数根轨迹，并讨论值对系统稳定性的影响。,解：,（1）以为

13、参量的等效开环传递函数,系统特征方程,等效开环传递函数,开环极点,实轴上的根轨迹,渐近线,根轨迹与虚轴的交点:,特征方程,交点为,出射角:,劳斯表,对于-1+j1.73处的极点有,对于-1-j1.73处的极点有,二、多回路根轨迹,根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。,系统的开环传递函数,系统特征方程,以为参数,研究以KC 、Kf为变量的根轨迹,系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！,1）绘制内环的根轨迹图,内环的开环传递函数,根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图,2)确定内环的闭环极点,假定内环的反馈系数 3.2Kf3.5,内环的特征方程,可选Kf=3.36,则求得内环

14、的闭环极点为,3)绘制外环的根轨迹图,外环的开环传递函数,三、正反馈和零度根轨迹,1、局部正反馈系统的框图,正反馈回路的闭环传递函数,特征方程,幅值条件,幅角条件（k =0, 1, 2, ）,绘制正反馈系统根轨迹的基本规则,（1）、根轨迹的分支数 (相同) （2）、根轨迹的起点和终点 (相同) （3）、根轨迹的对称性 (相同),（4）、实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。,（5）、根轨迹的渐近线： 根轨迹渐近线与实袖的交点 (相同) 根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为,（6）、根轨迹的会合点和分离点 (相同) （7）、根轨迹的出射角

15、和入射角 （8）、根轨迹与虚轴的交点 (相同) （9）、闭环极点的和与积 (相同),例 控制系统方框图如下所示,系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。,解：,（1）内环的开环传递函数,（4）实轴上的根轨迹,（2）根轨迹的分支数 3,（3）根轨迹的起点 0，-1，-3 终点 均为,（5）根轨迹的渐近线,（6）根轨迹的分离点,特征方程,44 滞后系统的根轨迹,在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象,滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，对系统的稳定性会带来不利的影响。,系统闭环传递函数,特征方程,这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个，而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。,滞后系统根轨迹幅值相位条件,幅值条件,相角条件,绘制滞后系统根轨迹的基本规则,（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。,（4）、根轨迹的渐近线：,（1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴,（2）、根轨迹的起点和终点,起点,终点,根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴,根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为,（5）、根轨迹的分离点：,（6）、根轨迹的出射角和入射角：,（7）、根轨迹与虚轴的交点：,例：设滞后系统的开环传递函数为,要求绘制