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1、好习惯，好人生。 学习是一件快乐的事。 第 6 讲一元二次方程 一、 知识清单梳理 知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二 次方程的 相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程 (2)一般形式： ax 2bxc0(a0) ，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、 一次项、 常数项， a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数、 常数项 例：方程20 a ax是关于 x 的 一元二次方程，则方程的根为1. 2.一 元 二 次 方 程 的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n0)的方程，可直接开平方求解 . ( 2 )因式分解法：
2、可化为（ax+m） (bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法 :一元二次方程ax2bx c0 的求根公式为 x= 2 4 2 bbac a （b2-4ac 0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时， 也可以考虑用配方法 解一元二次方程时，注意观 察，先特殊后一般，即先考 虑能否用直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法 解时，再用公式法. 例：把方程x 2+6x+3=0 变形为 (x+h) 2=k 的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3.根 的 判 别式 (1)当 2 4bac0 时，原方程
3、有两个不相等的实数根 (2)当 2 4bac =0 时，原方程有两个相等的实数根 (3)当 2 4bac0 时，原方程没有实数根 例：方程 2 210 xx的判别式 等于 8，故该方程有两个不相等的 实数根；方程 2 230 xx的判 别式等于 8，故该方程没有实数 根. * 4.根与系 数 的 关 系 （1）基本关系：若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个根分 别为x1、x2,则 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件 是0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时， 先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式
4、子，再运用根与系数的 关系求解 . 与一元二次方程两根相关代数式的 常见变形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22 =(x1+x2)2-2x1x2, 12 1212 11xx xxx x 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时，注意 前提条件时 =b2-4ac0. 知识点三：一元二次方程的应用 好习惯，好人生。 学习是一件快乐的事。 4. 列 一 元 二 次 方 程 解 应 用题 （1）解题步骤：审题；设未知数；列一元二次方程；解一元 二次方程；检验根是否有意义；作答 运用一元二次方程解决实际 问题时，方程一般有两个实数 根，则必须要根据题意检验根 是否有意义 . （2）应用模型： 一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. 平均增长率（降低率）问题：公式：ba(1x)n，a 表示基数， x 表示 平均增长率（降低率） ，n 表示变化的次数，b 表示变化n 次后的量； 利润问题：利润=售价 -成本；利润率 =利润 /成本 100%； 传播、比赛问题： 面积问题： a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通 过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
