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1、三角形五大模型 【专题知识点概述】 本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分 知识的综合运用能力。 重点模型重温 一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四 边形)； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两
2、个平行四边形底相等， 面积比等于它们的高之比 DC BA b a s2s1 二、等分点结论（“鸟头定理”） 如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 2 3 1 4 = 1 6 三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） S1S2=S4S3或者 S1 S3=S2 S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3） 梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） S1S3=a2b2 S1S3S2S4= a 2b2abab ; S 的对应份数为（ a+b） 2 模型四：相似三角形性质 如何判断相似 (1)相似的基本概念： 两个三角形对应边城比例，对应角相等。 (2)判断相似的方法： 两个三角形若有两个角对应相
3、等则这两个三角形相似； S4 S3 s2 s1 O D C B A S4 S3 s2 s1 b a 两个三角形若有两条边对应成比例， 且这两组对应边所夹的角相等则两个 三角形相似。 h h H cb a C B A a c b H C B A abch ABCH ; S1S2=a2A2 模型五：燕尾定理 S ABG：S AGCS BGE：S GECBE：EC； S BGA ：S BGCS AGF：S GFCAF：FC； S AGC：S BCGS ADG：S DGBAD：DB； 【重点难点解析】 1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形 2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头” 【竞赛考点挖掘】
4、 1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理” 【习题精讲】 【例 1】 （难度等级） 如图，长方形ABCD的面积是56 平方厘米，点E、 F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H 为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积. 【例 2】 （难度等级） 如右图， ABFE和 CDEF都是矩形， AB的长是 4 厘米， BC的长是 3 厘米，那么图中阴影部分 的面积是 _平方厘米 【例 3】 （难度等级） 如图，在三角形ABC中， BC=8 厘米， AD=6厘米， E 、F 分别为 AB和 AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米 【例 4】 （难度等级） 如图，在面积为1
5、 的三角形ABC中， DC=3BD,F是 AD的中点，延长CF交 AB边于 E,求三角 形 AEF和三角形CDF的面积之和。 G H F E D CB A F E D C B A F A B C D E 【例 5】 （难度等级） 如右图 BE=BC ，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几 【例 6】 （难度等级） 如图所示，四边形ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 【例 7】 （难度等级） 如图，在长方形ABCD 中， Y是 BD的中点， Z 是 DY的中点，如果AB=24厘米， BC=8厘米， 求三角形ZCY的面积 【例 8】 （难度等级
6、） 如图，正方形ABCD 的边长为4 厘米， EF和 BC平行， ECH 的面积是7 平方厘米，求EG的 长。 D EC B A G F E DC BA Y Z DC B A H G F E D C B A 【例 10】 （难度等级） 如图已知四边形ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形ABCD的边长为10 厘米，那么图中阴 影三角形BFD的面积为多少平方厘米 【例 11】 （难度等级） 如图，一个长方形被切成8 块，其中三块的面积分别为12， 23，32，则图中阴影部分的面 积为 【例 12】 （难度等级） 如图，平行四边形ABCD周长为 75 厘米，以BC为底时高是14 厘米；以CD
7、为底时高是16 厘米。求平行四边形ABCD的面积。 【例 13】 （难度等级） 如右图，正方形ABCD 的边长为6 厘米， ABE 、 ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求 三角形 AEF的面积 . 12 32 23 d c b a x A B C D E F F E D CB A 【例 14】 （难度等级） 如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4 ，BE=3 ，AE=6，甲部分面 积是乙部分面积的几分之几 【例 15】 （难度等级） 某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线 AC、BD分成四个部分，AOB面积为 1 平方 千米， BOC 面积为 2 平方千米
8、， COD 的面积为3 平方千米， 公园陆地的面积是平方 千米，求人工湖的面积是多少平方千米 【例 16】 （难度等级） 图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米 【作业】 1. 如图，三角形ABC中，2DCBD，3CEAE，三角形 ADE的面积是20 平方厘米，三角形ABC的面积是多少 2. 如右图所示， 在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13， 35， 49 那 么图中阴影部分的面积是多少 3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4 厘米，求三角形ABC 的面积。 4.如图，平行四边形ABCD ， BE=AB ， CF=2CB
9、， GD=3DC ， HA=4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四 边形 ABCD 与四边形EFGH的面积比 . 5.如图，在 ABC中，延长BD=AB ，CE=1 2 BC ，F 是 AC的中点， 若 ABC的面积是 2，则 DEF的面积是多少 E D CB A H G F E D C BA F E D C B A 【例 1】 （难度等级） 如图，长方形ABCD的面积是56 平方厘米，点E、 F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H 为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积. 【分析与解】 如右图，连接BH、HC，由E、F、G分别为AB、BC、 CD三边的中点有AE=EB、BF
10、=FC、CG=CD. 因此S1=S2，S3=S4 ，S5=S6,而阴影部分面积 =S2+S3+S6，空白部分面积 =S1+S4+S5.所以阴影部分 面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影 部分面积为28. 【例 2】 （难度等级） 如右图， ABFE和 CDEF都是矩形， AB的长是 4 厘米， BC的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米 【分析与解】 上排 4 个阴影三角形的高都等于BF，底边之和恰好为AB，他们 的面积之和为 1 2 BFAB；下排 4 个三角形的高都等于CF ，底边之和恰好为CD ，他们的 面积 之和为 11 22 CFCDCFAB.所以阴影部分面
11、积为: 1111 3 46 2222 BFABCFABBCAB(平方厘米 ). 【例 3】 （难度等级） 如图，在三角形ABC中， BC=8 厘米， AD=6厘米， E 、F 分别为 AB和 AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米 【分析与解】 首先， 1 24 2 ABC SBCAD平方厘米，而F 是 AC 中点， 所以 1 2 ABFABC SS.又 E 是 AB 中点，所以 11 6 24 EBFABFABC SSS平方厘米 . F E D C B A 【例 4】 （难度等级） 如图，在面积为1 的三角形ABC中， DC=3BD,F是 AD的中点，延长CF交 AB边于 E,求三
12、角 形 AEF和三角形CDF的面积之和。 【分析与解】 连接 DE,于是三角形AEF 的面积 =三角形 EFD 的面积， 所求被转 化为三角形EDC 的面积。 因为 F 是 AD 中点，所以三角形AEC 的 面积和三角形EDC 的面积相等，设SBDE 为 1 份, 则 SAEC=SEDC 为 3 份因此 SABC 一共 7 份， 每份面积为 1 7 所以 SEDC 占 3 份为 3 7 。 【例 5】 （难度等级） 如右图 BE=BC ，CD=AC ，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积 的几分之几 【分析与解】 上图中，三角形AEC 与三角形ABC 的高相等，而BE=BC ，于是 EC=
13、BC， 2 3 AEC ABC S S 又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD= 4 1 AC, 于是 AD= 4 3 AC, 3 4 AED AEC S S 所以，三角形AED 的面积 = 4 3 三角形 AEC 的面积 = 4 3 2 3 三角形 ABC 的面积= 1 2 三角形 ABC 的面积 【例 6】 （难度等级） 如图所示，四边形ABCD 与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们 的面积相等 【分析与解】 D EC B A D E C B A A B C E D F A B C D E 连接BE 显然有 1 2 ABEABCD SS， 1 2 ABEAEGF SS 所以
14、ABCDAEGF SS 【例 7】 （难度等级） 如图，在长方形ABCD 中， Y是 BD的中点， Z 是 DY的中点，如果AB=24厘米， BC=8厘米， 求三角形ZCY的面积 【分析与解】 192 ABCD SABBC平方厘米 因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以 1 11 1 11 ()()24 2 22 2 28 ZCYCDBABCDABCD SSSS 【例 8】 （难度等级） 如图，正方形ABCD 的边长为4 厘米， EF和 BC平行， ECH 的面积是7 平方厘米，求EG的 长。 【分析与解】 1 2 EG AE + 1 2 EG EB = 7 平方厘米 即 1 2 EG AB=7
15、 平方厘米； EG= 厘米 【例 10】 （难度等级） 如图已知四边形ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形ABCD的边长为10 厘米，那么图中阴 影三角形BFD的面积为多少平方厘米 【分析与解】 连接CF 由ABCD和CEFG都是正方形有45BDCDCF Y Z DC B A H G F E D C B A 所以BDCF. 由平行线间距离相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高 所以 1 50 2 BFDBCDABCD SSS 【例 11】 （难度等级） 如图，一个长方形被切成8 块，其中三块的面积分别为12， 23，32，则图中阴影部分的面 积为 【分析与解】 如右图，已知 a+b+
16、x=23+a+32+12+b 所以x=23+32+12 x=67. 【例 12】 （难度等级） 如图，平行四边形ABCD周长为 75 厘米，以BC为底时高是14 厘米；以CD为底时高是16 厘米。求平行四边形ABCD的面积。 【分析与解】 BC 14=CD 16，BC ：CD=16 ：14， BC+CD= 75 2 ，BC= 75 2 16 1614 =20 ABCD 面积 =14 20=280 （平方厘米） 【例 13】 （难度等级） 如右图，正方形ABCD 的边长为6 厘米， ABE 、 ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求 三角形 AEF的面积 . 【分析与解】 12 32 23 d c b a x A B C D E F F E D CB A 因为ABE 、 ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，所以四边形AECF 的面积与 ABE 、 ADF 的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是： 1 6612 3 ABEADF SSS 四边形 AECF
