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1、开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（三）数学（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题黑处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得，然后根据交集的运算，即可得到本题答案.【详解】由，得，所以，又，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及到绝对值不等式的求法，属基础题.2.已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】化简求得z，然后求其共轭复数，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，所以的共
2、轭复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义，属基础题.3.已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，则，所以.故选：B【点睛】本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.4.如果昨天是明天就好了，那今天就是星期天了！请问：今天到底是那一天？（ ）A. 星期一B. 星期二C. 星期五D. 星期六【答案】C【解析】【分析】由题可推得明天是星期六，从而可得今天是星期五.【详解】由“如果昨天是明天就好了，那今天就是星期天了”，得明天是
3、星期六，所以今天是星期五.故选：C【点睛】本题主要考查简单的推理问题，考查学生的逻辑推理能力.5.平行四边形中，分别是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先用表示出，然后相加，即可得到本题答案.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查向量的加减法运算，属基础题.6.菱形中，在菱形中任取一点，则该点取自其内切圆内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出圆与菱形的面积比，即可得到本题答案.【详解】如图，不妨设，由，则，又.故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，分别算出圆与菱形的面积，是解决此题的关键.7.已知函数的图像如图
4、，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图，得函数经过点和，利用排除法，即可得到本题答案.【详解】由图，得当时，可排除C，D选项，又当时，可排除A选项.故选：B【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象选择解析式，结合特殊点利用排除法，是解决此题的关键.8.在数列中，记为数列的前项和，则（ ）A. 0B. 1010C. 2020D. 3030【答案】B【解析】【分析】由，可求出数列的前8项，由此推导出数列是一个以4为周期的数列，从而可求得本题答案.【详解】由，得，所以，因此数列为周期数列，周期，所以.故选：B【点睛】本题主要考查利用数列的周期性求和，考查学生的运算求
5、解能力.9.如图，记图中正方形介于两平行线与之间的部分的面积为，则的图象大致为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案.【详解】当时，即，；当时，即，.由此可知，当时，且，所以选项不正确.故选：D【点睛】本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.10.已知是双曲线上一点，分别是的左、右焦点，若是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线的离心率的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】设直角三角形三边分别为，分，和三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值.【详解】如图，易知该直角三
6、角形三边可设为.若，则，得；若，则，得；若，则，得.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.11.已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先找出直线AD与平面所成角，然后在中，求出，即可得到本题答案.【详解】如图，取中点，作于，连接，则即为与平面所成角.不妨设棱长为4，则，.故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.12.已知定义在上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，
7、由题得在R上递增，求不等式的解集，即求不等式的解集，由此即可得到本题答案.【详解】设，则，因为，所以，则在R上递增，又，所以，即，所以，得.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得的最小值.【详解】由，得，作出不等式组对应的可行域（阴影部分），平移直线，由平移可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z取得最小值，由，解得，将A的坐标代入，得，即目标函数的最小值为
8、.故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类问题的常用方法.14.记，命题，命题，下面给出四个命题：，其中真命题的个数是_.【答案】2【解析】【分析】画出对应的图形，即可判断命题的真假，结合真值表，即可得到本题答案.【详解】表示上图中的正方形的内部及边上，表示直线左上部分和直线上（即图中阴影部分），表示圆的内部和圆上，结合图形，可知命题p是真命题，命题q也是真命题，所以是真命题.故答案为：2【点睛】本题主要考查根据不等式作出平面区域，以及结合真值表判断命题的真假，体现了数形结合的数学思想.15.等比数列中，是方程的两根，则_.【答案】5【解析】【
9、分析】由题，得，又由，即可得到本题答案.【详解】因为是方程的两根，所以，所以.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列与对数运算的综合问题，考查学生的运算求解能力.16.已知抛物线，圆心在上的圆过原点且与抛物线的准线相切，若该圆截直线所得弦长为，则的方程为_.【答案】【解析】【分析】由题，得圆心坐标，所以P到的距离，又由，列出方程解得p，即可得到本题答案.【详解】如图，设圆心为，因为，所以，且，则P到的距离， 又由，得，所以抛物线的标准方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线与圆的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过
10、程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求锐角的周长的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理边换角，然后利用和差公式和诱导公式恒等变形，逐步化简，即可得到本题答案；（2）根据正弦定理与和差公式，恒等变形得，然后确定角A的取值范围，即可求得本题答案.【详解】（1），；（2）由（1）知，.【点睛】本题主要考查利用正弦定理求角，以及解三角形中的最值问题，考查学生的转化能力，分析问题和解决问题的能力.18.已知四棱锥的底面是平行四边形，且，平面.（1）求证：平面平
11、面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证和，得平面，从而可得到本题结论；（2）利用等体积法，即由，可得到本题答案.【详解】（1）证明：由已知，平面，平面，又平面，平面平面；（2）连接，则易知，又，是等腰三角形，取中点，连接，则，设点到平面的距离为，由，得，.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定以及点到面距离的求法，等体积法是解决此类问题的关键.19.中国诗词大会是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.（1）若将被
12、污损的数字视为09中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：年龄20304050每周学习诗词的平均时间34由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式：，【答案】（1） （2）；小时【解析】【分析】（1）由题，列出不等式，解得x的取值范围，即可得到本题答案；（2）由，求得线性回归方程，然后令，即可得到本题答案.【详解】（1）设污损的数字为，由北方观众平
13、均人数超过南方观众平均人数得，即，；（2），又，时，.答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为小时.【点睛】本题主要考查与平均数相关的计算以及线性回归方程的求法，属基础题.20.设椭圆，定义椭圆的“相关圆”的方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；（2）若直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点.求证：；求的最大值.【答案】（1）； （2）证明见解析； 【解析】【分析】（1）由抛物线焦点为及椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即可求得，从而可得到本题答案；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况考虑，求出的值，即可得到本题结论；算出直线斜率不存在时的值，以及斜率存在时的最大值，通过比较大小，即可得到本题答案.【详解】（1）易知抛物线焦点为，又由的一个短轴端点与两焦点构成直角三角形，可得，椭圆的方程为，相关圆的方程为.（2）（i）斜率不存在时，可得的方程为，联立，即或，；（ii）斜率存在时，可设的方程为，联立，由圆与相切可得，由（i）（ii）知，恒成立.斜率不存在时，由可得，斜率存在时，由可得，令，则，（当且仅当时取“”）.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，弦长的最大值，以及向量与椭圆的综合问题，考查学生分析问题
