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1、地地道道的达到湖南省湘潭市2017第三次高考模拟数学(理)试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,集合,则集合等于( )A B C D2. 若 (为虚数单位),则复数的虚部为( )A B C1 D3.如图所示的阴影部分是由轴,直线以及曲线围成,现向矩形区域内随机投掷 一点,则该点落在阴影区域的概率是( )A B C. D4“”是“直线与圆相切”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5若双曲线的两条渐近线互相垂直,则它的离心率为( )A B C. 2 D6函
2、数的图象大致是( )A BC. D7执行如图所示的程序框图,如果运行结果为720,那么判断框中应填入( )A B C. D8某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )A B C. D9已知为数列的前项和,若恒成立,则整数的最小值为( )A1026 B1025 C.1024 D102310.中国南北朝时期的著作孙子算经中,对同余除法有较深的研究设为整数,若和 被除得的余数相同,则称和对模同余,记为.若,则的值可以是( )A2011 B2012 C.2013 D201411如图,为椭圆长轴的左、右端点,为坐标原点,为椭圆上不同于的三点,直线围成一个平行四边形,则( )A14 B12 C. 9 D
3、712已知函数,若对,且,有恒成立,则实数的取值范围为( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若,则 14.已知点,若点在不等式组表示的平面区域内,且 (为 坐标原点)的最大值为2,则 15.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象,若函数的图象关于轴对称,则当取最小的值时, 16已知数列满足,则数列中最大项的值是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在中,(1)求角的大小;(2)若,求的周长的取值范围18. 在四边形中,对角线垂直相交于点,且将沿折到的位置,使得二面角的
4、大小为90(如图),为的中点,点在线段上,且(1)证明:直线平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值19. 某届奥运会上,中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二,某校体育爱好者在高三 年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),从被调查的学生中随机抽取了50人,具体的调查结果如下表:(1)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;(2)若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查,记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.20. 已知点,点是直
5、线上的动点,过作直线,线段的垂直平分线与交于点(1)求点的轨迹的方程;(2)若点是直线上两个不同的点,且的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围21. 已知函数(1)若函数在处取得极值,求实数的值;(2)若函数)在区间上为增函数,求实数的取值范围; (3)若当时,方程有实数根,求实数的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系(1)求圆的极坐标方程;(2)若直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为,与直线 的交点为求线段的长2
6、3.选修4-5:不等式选讲已知函数的最小值为1(1)求的值;(2)若恒成立,求实数的最大值.试卷答案一、选择题1.A ,.又,,故选A.2.D ,则的虚部为,故选D.3D 所求概率为,故选D.4B 当时,圆的圆心到直线的距离为,等于半径,此时圆与直线相切;若直线与圆相切,则圆心到直线距离为,解得或0故应选B5A6B 由,解得或,所以函数有两个零点,又A,C不正确,所以,由,解得或,由,解得,即是函数的一个极大值点,所以D不成立,故选B7C ,结束循环,故选C8B 由三视图可知该几何体上半部分为半球,下面是一个圆柱,所以其表面积为.9.C 因为,所以,又, 所以整数最小值为1024.故选C10.
7、A 因为,所以被10除得的余数为 1,而2011被10除得的余数是1,故选A11.A 设,斜率分别为,则的斜率为,且,所以,同理,因此.故选A12C 因为,所以,所以.因为,且,所以恒成立恒成立恒成立,即恒成立,所以恒成立,又因为时,所以.故选C.二、填空题13. 121 令,则;令,则,所以.14. ,令,作出不等式组表示的可行域,分析知当时,所以,解之得或(舍去),所以.15.1 ,若函数的图象关于轴对称,则或.,又,此时.16. ,当时,;当时,由-,得,即.又是以1为首项,为公比的等比数列,即,.当时;当时,且,所以当时,;当时,所以数列的最大项为.三、解答题17.解:(1)因为,所以
8、,所以, 所以.又因为,所以.(2)因为,所以,所以.因为,所以.又因为,所以,所以.18证明:(1)由题设知,故两两垂直,建立如图直角坐标系,则由题知,故.又,故,.又,故.设平面的一个法向量为又,所以取,得.所以又因为不在平面上,故直线平面;(2)由(1)可知为平面的一个法向量,又,故.19.解:(1)因为在被抽取的50人中,持满意态度的学生共36人,所以持满意态度的频率为,据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为.(2)的所有可能取值为O,1,2,3;.的分布列为.20解:(1)据题设分析知,点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为.(2)设,点,点,直线的方程为,化
9、简,得,又因为内切圆的方程为所以圆心到直线的距离为1,即,所以,由题意,得,所以.同理,有,所以是关于的方程的两根,所以因为所以.因为,所以.直线的斜率,则,所以.因为函数在上单调递增,所以当时,所以,所以,所以.所以的取值范围是.21解:(1),因为函数在处取得极值,所以,即,解得,且经检验成立.(2)因为函数在区间上为增函数,所以对恒成立讨论:当时,对上恒成立,所以在上为增函数,故符合题意当时,所以,且对上恒成立, 令,其对称轴方程为,又因为,所以,所以要使对上恒成立,只要即可,即,所以.又因为,所以.综上,实数的取值范围为.(3)当时,方程可化为.所以在区间上有解.引入,令,则,所以当时,从而函数在上为增函数;当时,从而函数在上为减函数,因此.又,所以当时,又,所以,因此当时,取得最大0.22.解:(1)圆的普通方程为,又所以圆的极坐标方程为.(2)设,则得设,则由解得.所以.23.解:(1)分析知在区间上递减,在区间上递增,所以.所以.(2)因为,且,所以,又因为,当且仅当时,等号成立,所以时,有最小值.所以,所以实数的最大值为.房东是个大帅哥