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1、添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.一、 和平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，
2、且AE=EF.求证BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图，在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形. 例5 如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长. 三、 与矩形有辅助线作法 例6 如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.四、与正方形有关辅助线的作法例7如图，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE
3、=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.五、 与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8 已知，如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.例9 如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.六、 和中位线有关辅助线的作法例10 如图，在四边形
4、ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.答案 例1 例2 例3例1：证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，所以OC/DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0/ED，AO=ED， 所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.例2：证明:过点E作EH/BC,交AC于H,因为ED/AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG/AC,EH/BC,所以AEH=B,A=
5、BFG,又AE=BF,所以AEHFBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.例3：证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG，AC/BG，所以1=4，因为AE=EF，所以1=2，又2=3，所以1=4，所以BF=BG=AC. 例4 例5 例6例4：证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得ACE是等腰三角形，因为AO平分CAE，所以AOCE，且OC=OE，因为EF/CD，所以1=2， 又因为EOF=COD，所以DOC可
6、以看成由FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.例5证明：连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DFDE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；例6解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-
7、PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3. 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.例7 例8例7：证明：连接BD交AC于O，作AHBE交BE于H.在正方形ABCD中，ACBD，AO=BO，又BE/AC，AHBE，所以BOAC，所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=AC，因为AE=AC，所以AEH=30，因为BE/AC，AE/CF，所以
8、ACFE是菱形，所以AEF=ACF=30，因为AC是正方形的对角线，所以ACB=45，所以BCF=15，所以BCF=AEB. 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.例8： 证明：过点A、D分别作AEBC，DFBC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AEBC，BAC=90，所以AE=BE=CE=BC，ACB=45，所以AE=DF=，又DFBC，所以在RtDFB中，DBC=30，又BD=BC，所以BDC=BCD=，所以DOC=DBC+ACB=30+45=7
9、5.所以BDC=DOC，所以C0=CD.例9：解：过点D作DF/AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DEBC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD)=10=5.因为AC/DF,BDAC,所以BDDF,因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5. 例9 例10例10：证明：取AD中点P，连结PE，PF.因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE/BD，且PE=BD，PF/AC，且PF=AC，所以PEF=PFE，又PEF=OGH，PFE=OHG，所以OGH=OHG，所以OG=OH.说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题.
