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1、2012年高考文科数学模拟试题（五）1.集合，的子集中，含有元素0的子集共有（ ）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个2.已知复数，则（ ）A. B. C. D.数据3.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2431，则第2组的频率和频数分别为（ ）A.0.4，12 B.0.6，16 C.0.4，16 D.0.6，124.方程有实根的概率为（ ）A. B. C. D.5.已知，则不等式的解集为（ ）A.199， B.200， C.201， D.202，6.已知，则（ ）A. B. C. D.7.一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这
2、个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）A. B. C. D.8.若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.9.过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）A. B. C. D.10.已知两个单位向量与的夹角为，则的充要条件是（ ）A. B. C. D.11.设函数的图象关于直线及对称，且时，则（ ）A. B. C. D.12.平面把正四面体分割成两个形状体积都一样的几何体，则这样的平面有（ ）A.4个 B.6个 C.12个 D.无数个13.设等差数列的前项和为，且，若，则 14.已知函数 在单调增加，在单调减少，则 15.已知正方体的各条棱长均
3、为3，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为 16.设函数（）的最大值、最小值分别为、，则 17.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图，如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.解析 （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) 甲班的样本方差为 57
4、 （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A； 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件； ；18.已知在ABC中，角的对边为向量，且()求角的大小；()若，求的值解：（）由=0得.即;整理得. 解得.因为，所以 5分（）因为.由正弦定理和余弦定理可得代入上式得又因为,故.所求. 10分19.如图边长为4的正方形所在平面与正所在平面互相
5、垂直，分别为的中点.（1）求四棱锥的体积；（2）求证：平面；QPMDCBA（3）试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。（1）解：为的中点，为正三角形，. 3分 ,QPMDCBAQPMDCBANN四棱锥的体积.5分（2）证明：连接，连接，由正方形知的中点，的中点，.7分.9分（3）解：存在点为中点时，平面.10分是正方形，的中点，.11分由（1）知，又，. 13分. 14分20.已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为 （）（）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； （）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；
6、（）设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值解：（1）（） 圆过椭圆的焦点，圆：， ， ， ， 3分 （）由及圆的性质，可得， 7分（2）设，则整理得， 方程为：，方程为：、都过点，且直线方程为 令，得，令，得，为定值，定值是 -15分21.定义在R上的偶函数，当时，. 方程在R上恰有5个不同的实数解. （）求时，函数的解析式；（）求实数a的取值范围. 解：（1）设x0为偶函数， （2）为偶函数，=0的根关于0对称. 由=0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数原命题图像与x轴恰有两个不同的交点下面研究x0时的情况即 为单调增函数，故不
7、可能有两实根a0 令当递减，处取到极大值 又当要使轴有两个交点当且仅当0解得，故实数a的取值范围（0，）方法二：（2）为偶函数， =0的根关于0对称. 由=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数原命题图像与x轴恰有两个不同的交点下面研究x0时的情况与直线交点的个数. 当时，递增与直线y=ax下降或是x国，故交点的个数为1，不合题意 a0由几何意义知与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与相切之间的情形. 设切点切线方为 由切线与y=ax重合知故实数a的取值范围为（0，）22.如图，过圆O外一点M作它的一条切线，
8、切点为A，过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.（1）证明：OMOP = OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：OKM = 90.（1）证明 因为是圆的切线，所以又因为在中，由射影定理知，（2）证明 因为是圆的切线，同（1），有，又，所以，即又，所以，故23.已知圆和圆的极坐标方程分别为，（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：（1），所以；因为，所以，所以 5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 化为极坐标方程为，即 10分24.(1)设是正数，求证：；（2）若，不等式是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值简证：（1）， ，三个同向正值不等式相乘得 -5分简解：（2）时原不等式仍然成立思路1：分类讨论、证；思路2：左边=-10分第6页
