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1、第 1 页 2012 年高考文科数学模年高考文科数学模拟试题拟试题（一）答案（一）答案 1.复数（ ） 2 2 1ii A.B.C.D.444i4i 2.（ ） 2 tancotcosxxx A.B.C.D.tan xsin xcosxcot x 3.不等式的解集为（ ） 2 2xx A. B. C. D.1,21,12,12,2 4.若，则的取值范围是（ ）02 ,sin3cos A.B. C. D., 3 2 , 3 4 , 33 3 , 32 5.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位：)，根据所得数据画出样cm 本 的频率分布直方图，那么在这 100
2、 株树木中，底部周长小于 110的株数是（ ）cm A.30 B.60 C.70 D.80 6.已知等比数列中，则其前 3 项的和的取值范围是（ ） n a 2 1a 3 S A.B. C.D., 1 ,01,3, , 13, 7.的三内角的对边边长分别为，若，则（ ）ABC, ,A B C, ,a b c 5 ,2 2 ab ABcosB A.B.C.D. 5 3 5 4 5 5 5 6 8.设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三,M NOOPNPMNOM,N M OOP 个 圆，则这三个圆的面积之比为（ ） A. B. C. D.3:5:63:6:85:7:95:8:9 9
3、.已知函数，的零点依次为，则（ ）( )2xf xx 2 ( )logg xxx 2 ( )log2h xx, ,a b c A. B. C. D.abccbacabbac 10.设定义在上的函数满足，若，则（ ）R f x 213f xf x 12f 99f A.13 B.2 C. D. 13 2 2 13 11.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则 2 :8C yxFxKAC2AKAF 的AFK 面积为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 周长(cm) 9 0 频率/组距 100 110 120130 0.01 0.02 0.04 8 0 第 2 页 12.在计算机的算
4、法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即是不 xx x 超 过的最大整数，例如： 设函数，则函数x22,3.13, 2.63 21 ( ) 122 x x f x ( ) ()yf xfx 的值域为（ ） A. B. C. D. 01,01,0,12,0 13.投掷三枚骰子，点数和为 9 的概率是_ 14.已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则 22 :1 916 xy C 12 ,F FPC 212 PFFF 的 12 PFF 面积等于_. 15.一个正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 . 3 16.定义运算
5、符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将记作，记1 2 3n n i i 1 ()nN ，其中为数列中的第 项.若，则 . 1 n ni i Tia i a)( Nnani 2( ) n Tn nN n a 17.已知，函数. (1,2sin )ax (2cos(),1) 6 bx ( )()f xa b xR （）求函数)(xf的单调递减区间；（）若) 3 2cos(, 5 8 )( xxf求的值. 解：（1）xxbaxfsin2) 6 cos(2)( 2 分 xxxsin2 6 sinsin2 6 coscos2 ) 3 sin(2sincos3 xxx4 分 由,2 2 3 3
6、2 2 kxk 得,2 6 7 2 6 kxk 所以)(xf的单调递减区间是)(,2 6 7 ,2 6 Zkkk 6 分 （2）由（1）知). 3 sin(2)( xxf 又因为 5 4 ) 3 sin(, 5 8 ) 3 sin(2 xx所以8 分 即. 5 4 ) 6 cos() 6 cos() 3 sin( xxx 第 3 页 所以. 25 7 1) 6 (cos2) 3 2cos( 2 xx12 分 18.某高级中学共有学生 2000 人，各年级男、女生人数如下表： 年级 性别 高一高二高三 女生 373 xy 男生 377370 z 已知在全学校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女
7、生的概率是 0.19. （）现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在高三年级抽取多少人？ （）已知,245,245zy求高三年级女生比男生多的概率. 解：（1）0.19,380. 2000 x x 2 分 高三年级人数为2000(373377380370)500.yz 3 分 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数为 48 50012 2000 （人） 6 分 （2）设“高三年级女生比男生多”为事件 A，高三年级女生、男生数记为( , )y z 由（1）知 * 500,yzy zN且 则基本事件空间包含的基本事件有 （245，255）（246，254），（
8、247，253），（248，252），（249，251）（250，250），（251，249）， （252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共 11 个 9 分 事件 A 包含 的基本事件有 （251，149），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共 5 个 5 ( ). 11 P A 11 分 答：高三年级女生的男生多的概率为 5 . 11 12 分 19.四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，又 PA=PD，E 是 BC 的中点. （）求证：ADPE；（）在 PA 上是否存在一点 M，使 ME/平面 P
9、DC？ 解：（1）如图，取 AD 的中点 O，连结 OP，OE PA=PD，OPAD2 分 又 E 是 BC 的中点，OE/AB，OEAD， 又 OPOE=O，AD平面 OPE，而 PE平面 OPE， ADPE。 6 分 （2）存在点 M，取 PA 的中点 M， 7 分 连接 ME，MO，易知：OM/PD，又由 OE/DC， 知：平面 OEM/平面 PDC。 故在 PA 上是否存在点 M（M 为 PA 的中点），使 ME/平面 PDC。 12 分 20.已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x M经过点)7, 2(，长轴长为26，设过右焦点 F 斜率为 k 的直线交椭 圆 M
10、 于 A、B 两点. （）求椭圆 M 的方程；（）设过点 F 且与直线 AB 垂直的直线交椭圆 M 于 C、D，求|AB|+|CD|的最小值. P AB C D E 第 4 页 解：（1） 22 22 222 26 2 3 2 47 131 189 3 a a xy c ab b abc 所求椭圆M 的方程为4 分 （2）椭圆 M 右焦点 F（3，0），则直线 AB 的方程为(3),yk x 有 2222 22 3 (12)1218(1)0 1 189 ykxk kxk xk xy 6 分 设点 22 11221212 22 1218(1) (,), (,), 1212 kk A x yB x
11、yxxx x kk 有 222 22 222 1218(1)6 2(1) |(1)()4 121212 kkk ABk kkk 8 分 当0k 时，过右焦点 F 且与直线 AB垂直的直线交椭圆 M 于 C、D，则直线 CD 的斜率为 1 . k 可得 2 2 6 2(1) | 2 k CD k 10 分来源:学科网 所以 22 22 6 2(1)6 2(1) | 122 kk ABCD kk 222 22 22 (1)(1) 18 218 28 2 3 (12)(2) (1) 2 kk kk k 12 分 当且仅当 22 122,1,|8 2.kkkABCD 即时有最小值是 当0,:3 2,|
12、6 2,| 3 2,| 9 28 2.kaABCDABCD时易得 综上所述：|AB|+|CD|的最小值为8 2. 取值范围8 2,9 2 21.已知二次函数)(xg对任意实数 x 都满足, 12)1 () 1( 2 xxxgxg且 . 1 ) 1 (g （）求)(xg的表达式； （）设, 8 9 ) 1(ln) 2 1 ()(,1xmxmxgxHem求证：, 1 )(mxH在上为减函数； （）在（）的条件下，证明：对任意, 1 , 21 mxx，恒有 . 1 | )()(| 21 xHxH 解：（1）设 2 ( ),g xaxbxc 于是 2 (1)(1)2 (1)2g xgxa xc 2 (
13、1)2,x 第 5 页 所以 1 ,1 (1)1,.2 2 1. a gb c 又则 来源:Z&xx&k.Com 所以 2 11 ( )1. 22 g xxx 5 分 （2） 2 1 ( )ln(1) ,(1) 2 H xxmxmxme 6 分 因为对 (1)() 1,( )0, xxm xm H x x 故( )1,H xm在上为减函数 8 分 （3）由（2）得：( )1,H xm在上为减函数则： 2 12 1113 |()()| 1ln1ln0. 2222 H xH xmmmmm m 10 分 记 13 ( )ln(1) 22 h mmmme m ， 则 2 2 1133 111 ( )(
14、)0, 22332 h m mmm 11 分来源:学+科+网 所以 13 ( )ln(1, 22 h mmme m 在是单调增函数， 所以 3(3)(1) ( )( )10 222 eee h mh e ee ，故命题成立 12 分 22.如图，已知圆上的弧=，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： A AC A BD （)=；（）.ACEBCD 2 BCBE CD 23.已知曲线 C 的参数方程为 (为参数)当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极轴在 sin cos x y x 轴的正半轴上时，曲线 D 的极坐标方程为sin()2 4 a （）试将曲线 C 的方程化
15、为普通方程，曲线 D 的方程化为直角坐标方程； （）试确定实数 a 的取值范围，使曲线 C 与曲线 D 有公共点 （）曲线 C 的方程化普通方程为，2 分 sin cos x y 22 1xy 曲线 D 的方程化直角坐标方程为.5 分sin()2 4 a 20 xya （）若使曲线 C 与曲线 D 有公共点，则应有， 22 |002 | 1 11 a 解得10 分 22 22 a A B C D E 第 6 页 y=5 y= x+1 + x-2 O y x 4 3 21 -3-2-1 5 3 2 1 24.设函数( )|1|2|f xxxa （）当时，求函数的定义域；（）若函数的定义域为，试求实数的取值范围5a ( )f x( )f xRa 解:（）由题设知：05|2|1| xx 如图，在同一坐标系中作出函数 21 xxy和5 y的图象，如图， 得定义域为.5 分(, 23,) （）由题设知，当Rx 时，恒有 即axx |2|1| 又由（1）3|2|1| xx ，故3 a .10 分 3a 0|2|1| axx
