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1、第二章 轴向拉伸和压缩,Chapter2 Axial Tension and Compression,2-1 轴向拉压的概念及实例 (Concepts and examples of axial tension ,（2） ab和cd分别平行移至ab和cd , 且伸长量相等.,结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同.,2.平面假设 (Plane assumption) 变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.,3.内力的分布(The distribution of internal force),FN,均匀分布 (uniform distribution),式中,
2、FN 为轴力,A 为杆的横截面面积, 的符号与轴力 FN 的符号相同.,当轴力为正号时（拉伸）,正应力也为正号,称为拉应力;,当轴力为负号时（压缩）,正应力也为负号,称为压应力 .,4.正应力公式(Formula for normal stress),二、 斜截面上的应力（Stress on an inclined plane),1. 斜截面上的应力（Stress on an inclined plane）,以 p表示斜截面 k-k上的 应力，于是有,沿截面法线方向的正应力 ,沿截面切线方向的切应力 ,将应力 p分解为两个分量：,p,（1）角,2.符号的规定(Sign convention),
3、（3）切应力 对研究对象任一点取矩,p,（1）当 = 0 时，,（2）当 = 45时，,（3）当 = -45 时，,（4）当 = 90时，,讨 论,三、强度条件(Strength condition) 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力,1.数学表达式(Mathematical formula),2.强度条件的应用(Application of strength condition),（2）设计截面,（1） 强度校核,（3）确定许可荷载,例题2 一横截面为正方形的砖柱分上、下 两段,其受力情况,各段长度及横截面面积 如图所示.已知F = 50kN， 试求荷载引起的最大工作应力.,解：（1）
4、作轴力图,（2） 求应力,结论： 在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.,例题3 简易起重设备中，AC杆由两根 80807等边角钢组 成，AB杆由两根 10号工字钢组成. 材料为Q235钢，许用应 力=170MPa .求许可荷载 F.,解：（1） 取结点A为研究对象，受力分析如图所示.,结点A的平衡方程为,由型钢表查得,得到,（2） 许可轴力为,（3）各杆的许可荷载,（4） 结论：许可荷载 F=184.62kN,例题4 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力=160MPa，试校核CD杆的强度,并求： （1）结构的许可荷载F; （
5、2）若F=50kN,设计CD杆的直径.,解： （1） 求CD杆的内力,FRAx,（2）结构的许可荷载F,由,得,（3） 若F=50kN，设计CD杆的直径,由,得,取d=25mm,FRAx,1.试验条件 (Test conditions）,2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能 (Mechanical properties of materials in axial tension and compression),一、实验方法(Test method),（1） 常温: 室内温度 （2） 静载: 以缓慢平稳的方式加载 （3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件,2.试验设备(Test instru
6、ments) （1）微机控制电子万能试验机 （2）游标卡尺,二、拉伸试验(Tensile tests),先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距 l (original gage length).,l = 10d 或 l =5d,1. 低碳钢拉伸时的力学性质 (Mechanical properties for a low-carbon steel in tension),（1）拉伸试样,（2） 拉伸图 ( F- l 曲线 ),拉伸图与试样的尺寸有关. 为了消除试样尺寸的影响，把 拉力F除以试样的原始面积A， 得正应力；同时把 l 除以标距 的原始长度l ，得到应变.,表示F和 l关系
7、的曲线， 称为拉伸图 (tension diagram),（3）应力应变图 表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图(stress-strain diagram),（a） 弹性阶段,试样的变形完全弹性的. 此阶段内的直线段材料满足 胡克定律 (Hookes law),b点是弹性阶段的最高点.,（b） 屈服阶段,当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服(yielding).,c点为屈服低限,（c）强化阶段,过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力， 要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化 (hardening),e点是强化阶段的最高点,（d） 局部变形
8、阶段,过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现 颈缩 (necking)现象，一直到试样被拉断.,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 .,断面收缩率 (percent reduction in area ),伸长率 (percent elongation), 5%的材料，称作塑性材料 (ductile materials), 5%的材料，称作脆性材料 (brittle materials),（4）伸长率和端面收缩率,（5）卸载定律及冷作硬化,卸载定律 (unloading law),若加栽到强化阶段
9、的某一点d 停止加载,并逐渐卸载,在卸载 过程中,荷载与试样伸长量之间 遵循直线关系的规律称为材料的 卸载定律 (unloading law).,a,b,c,e,f,O,g,f,h,在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大.这种现象称为冷作硬化,冷作硬化,e - 弹性应变(elastic strain),p - 塑性应变(plastic strain),d,Yield Strength and Ultimate Strength,2.无明显屈服极限的塑性材料(Ductile materials without clearing define
10、d yield point),3.铸铁拉伸时的机械性能,- 铸铁拉伸强度极限,(Mechanical properties for a cast iron in tension),e,s,割线斜率,名义屈服应力用 表示.,Brittle vs. Ductile Behavior,三、材料压缩时的力学性能(Mechanical properties of materials in axial compression),1.实验试样 (Test specimen),2.低碳钢压缩时的s-e曲线(Stress- strain curve for a low-carbon steel in compr
11、ession),压缩的实验结果表明,低碳钢压缩时的弹性 模量E屈服极限s都与拉 伸时大致相同. 屈服阶段后,试样越 压越扁,横截面面积不 断增大,试样不可能被 压断,因此得不到压缩 时的强度极限.,3.铸铁压缩时的s-e曲线 (Stress - strain curve for cast iron in compression),铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45 55倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏,铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍.,以大于1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力, 用表示.,2. 许用应力(Allowable stress),1. 极限应力(Ultimat
12、e stress),四、安全因数和许用应力 (Factor of safety & allowable stress),n 安全因数 (factor of safety),塑性材料 (ductile materials),脆性材料 (brittle materials),材料的两个强度指标s 和 b 称作极限应力或危险应力, 并用 u 表示.,五、 应力集中(Stress concentrations),开有圆孔的板条,因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为 应力集中 (stress concentrations).,带有切口的板条,应力集中因数(stress- concentr
13、ation factor),六、蠕变及松弛(creeping & relaxation),固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变(creeping),粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为松弛 (relaxation),发生应力集中的截面上的最大应力,2-5 拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation),一、纵向变形 (Axial deformation),2. 纵向应变 (Axial strain),1. 纵向变形 (Axial deformation),二、横向变形(Lateral
14、deformation),三、泊松比 (Poissons ratio), 称为泊松比 (Poissons ratio),2. 横向应变(Lateral strain),1. 横向变形(Lateral deformation),四、胡克定律 (Hookes law),式中 E 称为弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity).,实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.,上式改写为,由,例题5 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kN F3=35kN. l1=l3=300mm，l
15、2=400mm. d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm. 试求：,（1） -、-、III-III截面的轴力并作轴力图,（2） 杆的最大正应力max,（3） B截面的位移及AD杆的变形,解：求支座反力 FRD = -50kN,（1）-、-、III-III 截面的轴力并作轴力图,（2） 杆的最大正应力max,AB段,DC段,BC段,max = 176.8MPa 发生在AB段.,（3） B截面的位移及AD杆的变形,例题6 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成. 已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 =30 的角度, 长度均为 l = 2m,直径均为 d=25mm,钢的弹性模量为 E=210GP
16、a.设在点处悬挂一重物 F=100 kN,试求 A点的位移 A.,解：（1） 列平衡方程,求杆的轴力,（2）两杆的变形为,变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.,（伸长）,以两杆伸长后的长度BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A,即为A点的新位置.AA 就是A点的位移.,因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A,可认为,例题7 图示三角形架AB和AC 杆的弹性模量 E=200GPa A1=2172mm2，A2=2548mm2. 求 当F=130kN时节点的位移.,解：(1)由平衡方程得两杆的轴力,1 杆受拉,2 杆受压,（2）两杆的变形,AA3 为所求A点的位移,五、轴向拉伸或压缩的变形能,1、 弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存与杆内， 这种能成为应变能（Strain Energy）用“
