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1、2020/10/8,1,第三节 B-样条曲线,本节内容： B-样条曲线定义 B-样条曲线性质 B-样条曲线的离散生成 有理B-样条曲线,2020/10/8,2,分段参数多项式曲线分析,Hermit曲线 分段插值曲线 全局控制曲线 多项式次数与顶点数相关 Bezier曲线 全局控制曲线 多项式次数与顶点数相关 拼接要求不易满足 局限性：全局控制,2020/10/8,3,B-样条曲线概念,B-样条曲线,B-样条基函数,控制多边形,控制顶点,2020/10/8,4,控制顶点作用的局部化,次(1阶)曲线,0次基函数：,t,次？次？,ti,ti+1,2020/10/8,5,续,1次曲线（2阶）,2次基函
2、数：Ni,2(t),2次？3次？，k+1次基函数？,2020/10/8,6,B-样条基函数的定义,de Boor-Cox定义： (约定：0/0=0),2020/10/8,7,关于递推定义的系数,2020/10/8,8,基函数的影响范围,t0,t1 t1,t2 t2,t3 t3,t4 t4,t5,Ni,k(t)的支撑区间为：ti,ti+k,2020/10/8,9,支撑区间,2020/10/8,10,曲线段及控制点,t0,t1 t1,t2 t2,t3 t3,t4 t4,t5 t4,t5,2020/10/8,11,B-样条曲线的定义,B-样条曲线示例,共n-k+2段,2020/10/8,12,1阶B
3、-样条基函数,K=1时的基函数,2020/10/8,13,K=1时定义的曲线示例,2020/10/8,14,2阶B-样条基函数,K=2时的基函数,2020/10/8,15,K=时定义的曲线示例,2020/10/8,16,3阶B-样条基函数,K=3时的基函数,2020/10/8,17,续前页：,2020/10/8,18,续前页：,2020/10/8,19,续前页：,2020/10/8,20,2020/10/8,21,3阶B-样条基函数图形,2020/10/8,22,3阶B样条曲线示例,T=t0,t1,tn+1,tn+2,tn+3,2020/10/8,23,知其然，知其所以然,阶数与次数 顶点数
4、节点矢量与定义区间 段数 控制点及其影响域,2020/10/8,24,上节要点回顾,Bezier曲线 Bernstain基函数 Bezier曲线定义及性质 有理Bezier曲线 B-样条曲线 B-样条基函数（节点矢量） B-样条曲线定义 阶数/次数 顶点数 定义区间 段数,2020/10/8,25,B-样条基函数的性质,局部性 权性 连续性,2020/10/8,26,B-样条基函数的局部性,在每一个区间上至多只有k个基函数非零，它们是：,2020/10/8,27,B-样条基函数的权性,上式右端根据递推公式展开并化简得到：,2020/10/8,28,B-样条基函数的连续性,2020/10/8,2
5、9,问题：3阶B样条曲线生成,已知6个控制顶点，请定义出节点矢量均匀的2次B样条曲线，并回答以下问题。 定义区间是什么? 曲线分为几段？ 给出第二段曲线的表达式,2020/10/8,30,B-样条曲线的分类,根据节点矢量的不同形式分类 均匀B样条曲线 准均匀B样条曲线 分段Bezier曲线 非均匀B样条曲线,2020/10/8,31,均匀B-样条曲线,均匀节点矢量：所有节点区间长度为大于0的常数 均匀B-样条基：在均匀节点矢量上定义的B-样条基 均匀B-样条曲线：在均匀B-样条基上定义的曲线,2020/10/8,32,例：三次均匀B样条曲线（1）,2020/10/8,33,三次均匀B样条曲线（
6、2）,2020/10/8,34,三次均匀B样条曲线（3）,基函数的平移性,三次均匀B样条曲线（4）,2020/10/8,36,P(3),P(4),P(5),2020/10/8,37,练习：,推导出 区间上3次均匀B样条曲线的矩阵表达式。,2020/10/8,38,准均匀B-样条曲线（1）,节点矢量：在首末端点处有k次重复度，中间节点区间长度为大于0的常数，即：,2020/10/8,39,准均匀B样条曲线（2）,端点位置矢量的计算,特点：曲线首末点与控制顶点重合,2020/10/8,40,次均匀B样条示例,2020/10/8,41,次准均匀B样条示例,2020/10/8,42,B样条曲线到分段B
7、ezier曲线的转换,节点矢量：两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1,基函数：以上节点矢量定义分段的Bernstein基函数,2020/10/8,43,分段Bezier曲线,各曲线段相对独立性：移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响 Bezier曲线的算法都可以原封不动地采用 其它类型的B样条曲线可通过插入节点的方法转换成分段Bezier曲线类型 缺点：增加了定义曲线的数据，至多增加k-1倍,2020/10/8,44,非均匀B-样条曲线,节点矢量：节点序列非递减，两端节点重复度k，内节点重复度k-1 非均匀B样条基：上述节点矢量上的基函数,B-样条
8、曲线示例,2020/10/8,45,2020/10/8,46,B-样条曲线的性质,局部性 凸包性 分段参数多项式 连续性 几何及仿射不变性,2020/10/8,47,B-样条曲线的性质（1）,局部性,2020/10/8,48,2020/10/8,49,B-样条曲线的性质（2）,凸包性,2020/10/8,50,2020/10/8,51,B-样条曲线的性质（）,平面B-样条曲线的保型性 保凸性 变差缩减性,2020/10/8,52,B-样条曲线的性质（）,分段参数多项式 在每一区间 上都是次数不高于k-1的参数t的多项式 在定义区间上是参数t的k-1次分段多项式,2020/10/8,53,202
9、0/10/8,54,B-样条曲线的性质（）,连续性,导数曲线,2020/10/8,55,关于B-样条曲线连续性的说明,三点共线：1阶几何连续 五点共面：2阶几何连续,当最大节点重数为1时： K=1的曲线退化为控制点 K=2的曲线为控制多边形 K=3的曲线为一阶连续的,2020/10/8,56,B-样条曲线造型的灵活性,用B样条曲线可以构造 直线段 尖点 切线 等特殊情况,2020/10/8,57,B-样条曲线造型的灵活性（1）,直线段的构造 对于四阶（三次）B样条曲线 若要在其中得到一条直线段，只要 四点位于一条直线上，则 对应的曲线即为一条直线，且和控制点所在的直线重合,2020/10/8,
10、58,B-样条曲线造型的灵活性（2）,尖点的构造：三重顶点可使曲线过该控制点（尖点），重节点也可得到类似效果,2020/10/8,59,B-样条曲线造型的灵活性（3）,指定切线条件的满足：三点共线且 重数不大于2,2020/10/8,60,？,绘制算法？,2020/10/8,61,B-样条曲线的离散生成,自学: deBoor-Cox算法（） 三次B样条的Bezier表示 可参考清华大学出版社教材,2020/10/8,62,非均匀有理B-样条曲线 可精确表示抛物线以外的其它二次曲线,定义 有理B-样条基及NURBS曲线的齐次坐标表示 权因子的作用 NURBS曲线的修改,2020/10/8,63,
11、非均匀有理B样条曲线,2020/10/8,64,NURBS方法的主要优点,既为标准解析形状又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式 修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性 具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术(包括节点插入、细分、升阶等) 对几何变换和投影变换具有不变性 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例,2020/10/8,65,NURBS中难以解决的问题,需要更多的存储空间，如空间圆需7个参数(圆心、半径、法矢)，而NURBS定义空间圆需38个参数 权因子选择不当会引起畸变 对搭接、重叠形状的处理很麻烦 反求曲线曲面上点的参数值的算法，
12、存在数值不稳定问题,2020/10/8,66,有理B-样条基,引入k阶有理基函数,则有理B-样条曲线表示为：,2020/10/8,67,有理B-样条基性质,与B-样条基函数性质类似 局部支撑性 权性 可微性 等,2020/10/8,68,有理B-样条曲线性质,与B-样条曲线有类似性质 局部性质 变差减小性质 凸包性 仿射不变性 可微性 如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响；若权因子无穷大时，则曲线无限接近相应点 Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况,2020/10/8,69,有理B-样条曲线的齐次坐标表示,给定控制顶点 及相应权因子 确定带权控制点 定义四维B-样条曲线,2020/10/8,70,有理B-样条曲线的齐次坐标表示,在超平面 上的中心投影即为三维空间下的有理B-样条曲线,右图：平面NURBS曲线的齐次坐标表示,2020/10/8,71,权因子的几何意义,如固定参数t，而使权因子变化，则NURBS曲线方程变成以权因子为参数的直线方程,2020/10/8,72,例：不同权因子定义的圆锥曲线,形状因子,2020/10/8,73,2020/10/8,74,小结,B-样条曲线定义 B-样条曲线分类 B-样条曲线性质 B-样条曲线的生成 有理B-样条曲线,
