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1、5.5微分方程习题课,一.知识小结 二.典型习题分析,一、主要内容回顾,1.一阶微分方程的类型和解法,（1）直接积分型方程,解法： 方程两边直接积分,（2）可分离变量方程,解法:分离变量后两边积分,（3）*齐次方程,解法：变量代换法：令,（4）一阶线性方程,解法：公式法 或可分离变量,一阶齐次线性方程,一阶非齐次线性方程,解法：公式法,或常数变易法,解法：对方程连续积分 次,2形如 的高阶微分方程，,3二阶常系数线性微分方程,（1）二阶常系数齐次线性方程,解法：写出特征方程，求出特征根，由公式写出通解.,特解 的求法 ：由 设出特解形式，,（2）二阶常系数非齐次线性方程,解法：非齐通解=对应齐
2、通解 +一个非齐特解 ,代入方程求出待定系数,当 时的特解,是和 同次的待定多项式.,当 时的特解,4.补充方法,（1）求可分离变量方程 满足初值条件 的特解，可采用定积分的方法，其求解为 注意，这个表达式中左、右两端的积分下限分别是初值条件中 和 的对应值.,（2）齐次方程 ，有时按下面的方法 求解能简化计算即把 看作自变量，而把 看作未知函数，方程化为 令 ， 则 代入原方程后，化为可分离变量的方程.,（3）求一阶线性方程 满足初值条件 的特解，也可采用定积分方法，其求解公式为 注意，这个表达式中的积分下限和积分常数的取法.,二.典型习题分析,例1.求微分方程 满足初始条件 的特解.,解法
3、一： 分离变量，得,将条件 代入上式，得,于是所求方程的特解为,两边积分,解法二 ： 分离变量，作定积分,得,即,例2 求微分方程 的通解,解：原方程变形为,代入上式得,将 回代，得原方程的通解为,整理得,两边积分得,即,？ 若令 呢？,例3.求微分方程 满足初始条件 的特解,解,例4.求微分方程 的通解.,解：原方程变形为,对应齐次方程的特征根为,故齐次方程的通解为,将原方程拆成如下两个方程,先求 的特解,所以,再求 的特解,因为 不是特征根,设,所以,由叠加原理，原方程的一个特解为,代入方程，得,例6 容器内有100 的水，现以浓度为 的盐溶液用 的流速注入容器内（假定盐水与净水立即混合），又以同样的速率流出混合溶液问何时容器内含100 的盐？,分析：设在时刻 ，盐的含量为 根据题意，在该时刻容器内含盐量的变化率,=盐量流入的速率-盐量流出的速率，,盐量流入的速率= 因溶液每分钟的流入量与流出量相同，而在 时刻 时，容器内盐溶液的浓度为 所以,盐量流出的速率,解：设在时刻 ，盐的含量为 根据题意,分离变量,即,将初始条件 代入上式，得,解得,当 时，由上式得,即经过 分钟，容器内含盐量,求下列微分方程的通解：,求下列微分方程满足初值条件的特解：,练习,7.已知曲线过点 ，且在曲线上任何一点处的切线斜率等于自原点到该切点连线的斜率的三倍，求此曲线方程,训练答案,
