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1、各地市数学竞赛题汇编&参考答案2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答第一试 一. 选择题（每小题分，共分）、设为质数，并且和也都是质数，若记，则在以下情况中，必定成立的是（ ）、都是质数； 、都是合数； 、一个是质数，一个是合数； 、对不同的，以上各情况皆可能出现答案：解：当时，与皆为质数，而，都是质数； 当质数异于时，则被除余，设，于是，它们都不是质数，与条件矛盾！、化简的结果是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：；，因此，原式、的末位数字是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：的末位数字按的顺序循环，而的末位数字按的顺序循环，因为是形状的数，所以的末位数字是，而的末位数字是，所以的末位
2、数字是、方程的解的情况是( ).、无解； 、恰有一解； 、恰有两个解； 、有无穷多个解答案：.解：将方程变形为 ，分三种情况考虑，若 ，则成为 ，即，得；若 ，则成为 ，即，得；若 ，即时，则成为 ，即，这是一个恒等式，满足的任何都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足 的一切实数，即有无穷多个解、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：分类计算：设正六边形的边长为，那么，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，共计个、设为整数，并且一元二次方程有等根，而一元二次方程有等根；那么，以为根的整系数一元
3、二次方程是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：由两个方程的判别式皆为，有，以及，即：以及，消去得，其整根为，于是；因此两个方程分别是：及，前一方程的等根为，后一方程的等根为，易得，以为根的整系数一元二次方程是二、 填空题（每小题分，共分）、直角三角形的三条边长分别为，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 答案：解：的面积为，又设其内切圆的半径为，则由，所以，因此内切圆面积为，故剩下部分的面积为、若，则（ ）答案：（）解：，由，解得，；因此、如图，正方形的边长为，是边外的一点，满足：，则 答案：解: ，设，则，由，得，即有，所以，则，再由，即，所以、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自之中
4、（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是的倍数，用表示圆周上所有十二个数的和，那么数所有可能的取值情况有 种答案：种解：对于圆周上相邻的三个数，可以是，或，或，例如，当三数和为时，可以取或或；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为，由于和都是的倍数，那么必有，于是与或者相等，或者相差；又在圆周上，与可互换，与可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是，或，或，因此四段的总和可以取到中的任一个值，总共九种情况 （其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：，其和为，然后每次将一个改成，或者将一个改成，每一次操作都使得总和增加，而这样的操作可以进行八次）第
5、二 试一、（分）试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解解：将方程改写为 ， 5由于表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式： 10所以， ，或 ，或 15由得（当或）；由得（当或）；由得 （当 或）； 或 （当或）；由得（当）；或 （当或） 20二、（分）锐角三角形的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边交于；证明：证： 延长交于，由于共点， 5则 10而，15同理有,， 20代入得， 所以 25三、（分）设为正整数，证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积；2、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积证明：1、如果是两个
6、连续正整数的乘积，设，其中为正整数，5则为两个连续正整数的乘积； 102、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，则 15于是，是的倍数，且是奇数；设，由得， 20因此，即，它是两个连续正整数的乘积252011年全国初中数学竞赛天津赛区复赛试卷得分评卷人一、选择题（本题共5小题，每小题7分，满分35分每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里） （1）设，则代数式的值为( ).（A）0（B）1（C）1（D）2（2）已知为实数，且满足，则的最小值为( ).（A）（B）0（C）5（D）（3）若，且满足，则的值为( ).（A）1（B
7、）2（C）（D）（4）设，则的整数部分等于( ).（A）4（B）5（C）6（D）7（5）点分别在的边上，相交于点，设，则与的大小关系为( ).（A）（B）（C）（D）不能确定 得分评卷人二、填空题（本题共5小题，每小题7分，满分35分把答案填在题中横线上） （6）两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为 . （7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 . （8）若的最大值为a，最小值为b，则的值为 .（9）如图，双曲线
8、（x0）与矩形OABC 的边CB， BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF， 则OEF的面积为 . （10）如图，在RtABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为 .三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）得分评卷人（11）（本小题满分20分） 已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 得分评卷人（12）（本小题满分20分）如图，点为的垂心，以为直径的和的外接圆相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.得分评卷人（13）（本小题满分20分）如图，点为轴正半轴上一点
9、，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（）求证：=；（）若点的坐标为（0，1），且=60，试求所有满足条件的直线的函数解析式.得分评卷人（14）（本小题满分20分）已知，且，证明：中一定存在两个数，使得2011年全国初中数学竞赛试题（福建）一、选择题1、设，则代数式的值为（）A0B1C1D22、对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“”为：。如果对于任意实数，都有，那么为（）。ABCD3、已知是两个锐角，且满足，则实数所有可能值的和为（）ABC1D4、如图，点分别在ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设，则与的大小关系为（）A B C D不能确定5、设，则4S的整数部分等
10、于（）A4B5C6 D7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是。8、如图，双曲线与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AFBF，连接EF，则OEF的面积为9、的三个不同的内接正三角形将分成的区域的个数为。10、设四位数满足，则这样的四位数的个数为。三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、已知关于的一元二次方程的
11、两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。12、如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的和BCH的外接圆相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。13、若从1，2，3，中任取5个两两互素的不同的整数，其中总有一个整数是素数，求的最大值。 14、如图，ABC中，BAC60，AB2AC。点P在ABC内，且PA，PB5，PC2，求ABC的面积。2011年全国初中数学竞赛试题（福建）参考答案一、选择题：CBCBA二、填空题6、317、8、9、2810、5三、解答题：11、解：设方程的两个根为、，其中、为整数，且则方程的两个整数根为1、1，由根与系数关系得：a，(1)(1)a两式相加得：2210即(2)(2)3或 解得：或又a()，b，c(1)(1)a0，b1，c2或a8，b15，c6故3或29Q12、证明：如图，延长AP交于点Q连结AH，BD，QC，QHAB为直径 ADBBDQ900BQ为的直径于是CQBC，BHHQ点H为ABC的垂心 AHBC，BHACAHCQ，ACHQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。13、解：若n49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，n48，在1
