期权定价B-S期权定价公式

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1、第六章第六章 期权定价期权定价 2 教学内容教学内容 1.股价过程股价过程 2.BSM随机微分方程随机微分方程 3.风险中性定价风险中性定价 4.B-S期权定价公式期权定价公式 5.标的资产支付连续红利情况下的期权定价标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6.欧式指数期权、外汇期权和期货期权欧式指数期权、外汇期权和期货期权 3 马尔科夫过程马尔科夫过程(Markov process) 1. 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2. 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时 刻的概率分布不依赖于股价过去的路径 如果股价过程是马尔科夫过程

2、，那么股价在未来某时 刻的概率分布不依赖于股价过去的路径 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技 术分析不能战胜市场 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技 术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性 4 Wiener过程过程(布朗运动布朗运动)定义定义 1. 瞬时增量为瞬时增量为 增量的均值等于增量的均值等于0 增量的标准差等于增量的标准差等于 zt 2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是过程是Markov过程过程 t 5 Wiener过程

3、过程(布朗运动布朗运动)基本性质基本性质 1. Wiener过程过程(长时间段内长时间段内)的增量的增量 增量的均值等于增量的均值等于0 增量的标准差等于增量的标准差等于 2. 在任意时间段内的期望路径长度为无穷大在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3. 在任意时间段内，在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无穷 大 取某一给定值的期望次数等于无穷 大 1 0 N i i z Tzt NTt T 6 广义广义Wiener过程过程 1. x是广义是广义Wiener过程，如果过程，如果 漂移速度漂移速度a是常数是常数 b是常数是常数 2. x是广义是广义Wiener过程过程 增量为正态分布

4、，均值等于增量为正态分布，均值等于 标准差为标准差为 dxadtbdz 0 x Tx b T aT 7 Ito引理引理 1. x是是Ito过程，如果过程，如果 2. Ito引理：引理：G是是x与与t的函数，在一定的正则条件下， 因此， 的函数，在一定的正则条件下， 因此，G也是也是Ito过程过程 2 2 2 1 2 GGGG dGabdtbdz xtxx ,dxa x t dtb x t dz 中国最庞大的数据库下载中国最庞大的数据库下载中国最庞大的数据库下载中国最庞大的数据库下载 8 Ito引理引理应用于股票远期价格应用于股票远期价格 1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为标的资产为不分

5、红的股票，则远期价格为 2. 运用运用Ito引理，得到，引理，得到， 00 rT FS e r Tt FSe dFr FdtFdz 9 股价过程股价过程 1. 股价过程：几何布朗运动 ， 股价过程：几何布朗运动 ， ：单位时间内股价的期望收益率：单位时间内股价的期望收益率(瞬时瞬时) ：股价的波动率：股价的波动率 . 2. S为股价过程，则为股价过程，则 dS dtdz S dSSdtSdz , S tt S : 2 22 2 1 2 GGGG dGSSdtSdz StSS 10 股价过程股价过程对数正态分布对数正态分布 1. 股价对数过程，股价对数过程， 2. 称股价呈对数正态分布称股价呈对

6、数正态分布 2 ln2dGdSSdtdz lnGS 2 0 ln, 2 T SSTT : 2 0 lnln, 2 T SSTT : 0 T T E SS e 2 22 0 var1 TT T SS ee 11 股价过程股价过程收益率分布收益率分布 1. 股票收益率股票收益率(长时间尺度长时间尺度) 2. 与瞬时期望收益率的差异与瞬时期望收益率的差异 3. 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时 期望收益率 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时 期望收益率 0 T T SS e 0 1 ln T S TS 或者，或者， 2 , 2 T : , S tt S : 12 BSM随机

7、微分方程随机微分方程假设假设 1. 股价过程为股价过程为Ito过程过程 2. 卖空无限制卖空无限制 3. 没有交易成本、税收，证券是无限可分的没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4. 衍生工具在到期之前不产生红利衍生工具在到期之前不产生红利 5. 不存在套利机会不存在套利机会 6. 证券可以连续交易证券可以连续交易 7. 所有期限的无风险利率同为常数所有期限的无风险利率同为常数 13 BSM随机微分方程随机微分方程推导推导 1. f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数 2. 离散形式离散形式 dSSdtSdz 2 22 2 1 2 ff

8、ff dfSSdtSdz StSS SS tS z 2 22 2 1 2 ffff fSStS z StSS 14 BSM随机微分方程随机微分方程推导推导 3. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相 同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可 以消除掉 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相 同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可 以消除掉Wiener过程。过程。 1个单位衍生工具空头，份股票个单位衍生工具空头，份股票 4. 把上述投资组合的价值记作把上述投资组合的价值记作 f S f fS S 2 22 2 1 2 fff fSSt StS 15 BSM随机微分

9、方程随机微分方程推导推导 5. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的 6. 股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现 在边界条件上 股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现 在边界条件上 欧式买权：当欧式买权：当t=T时，时， 欧式卖权：当欧式卖权：当t=T时，时， rt 2 22 2 1 2 fff StrfSt tSS 2 22 2 1 2 fff rSSrf tSS maxfSX maxfXS 16 BSM随机微分方程随机微分方程应用于股票远期应用于股票远期 股票远期的价格满足股票远期的价格满足BSM方程方程 r Tt fS

10、Ke 2 2 ,1,0 r Tt fff rKe tSS 2 22 2 1 2 r T t fff rSSrKerSrf tSS 17 BSM随机微分方程随机微分方程 1. BSM的任何解都是某种可以交易的衍生工具 的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会 的任何解都是某种可以交易的衍生工具 的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会 2. 如果不满足如果不满足BSM方程，它是某种衍生工具的 价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会 方程，它是某种衍生工具的 价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会 ,fS t ,fS t 18 风险中性定价风险中性定价(risk-neutral valua

11、tion) 1. Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说 明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此， 在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别 地，可以假设投资者是风险中性的 方程不包含股票收益率，说 明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此， 在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别 地，可以假设投资者是风险中性的 在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无风 险利率 在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无风 险利率 2. 风险中性定价的一般程序风险中性定价的一般程序 假设标的资产的期望收益率等于无风险利率假设标的资产的期望收益率等于无风

12、险利率 计算衍生工具在到期日的期望支付计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff) 把期望支付按无风险利率贴现把期望支付按无风险利率贴现 3. 风险中性定价是求解风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该 方法求得的解适用于任何投资者 方程的一种人造方法，用该 方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性的 投资者 不仅限于风险中性的 投资者) 19 风险中性定价风险中性定价应用于股票远期应用于股票远期 1. 边界条件：边界条件： 2. 根据风险中性定价原则，根据风险中性定价原则， TT fSK r T t T feE SK ) r T tr T t T eE SeK ) r T t

13、r T tr T t eeSeK r T t SeK 20 欧式期权定价欧式期权定价 1. 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的 前面 世纪的 前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解 决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。 在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工 作出现在 多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解 决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。 在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工 作出现在1973年年金融学家金融学家F. Black与与M. Scholes发表了发表了“期权定价与公司负债期权

14、定价与公司负债”的著名论文的著名论文 2. 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式 Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价 在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采 用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法 欧式期权定价公式，探讨了期权定价 在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采 用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法 3. M. Scholes主要因为这一工作与主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺 了 一道荣膺 了1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖 21 BS期权定价公式期权定价公式 01

15、2 ()() rT cS N dXeN d 201 ()() rT pXeNdS Nd 2 0 1 2 ln S rT X d T 2 0 21 2 ln S rT X ddT T r T t T feESK ) 22 欧式期权定价欧式期权定价轶事轶事 1. 巧合的是，国际上第一个期权交易所巧合的是，国际上第一个期权交易所芝加哥期权 交易所于 芝加哥期权 交易所于1973年年4月底挂牌营业，略早于月底挂牌营业，略早于B-S公式的 正式发表（ 公式的 正式发表（5-6月号）月号） 2. 两位作者最先把论文投给两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝， 而且没有得到审稿意见。拒绝的理由： ，遭到了编辑的拒绝， 而且没有得到审稿意见。拒绝的理由： 金融太多，经济学太少金融太多，经济学太少 3. 他们于是向他们于是向经济学与统计学评论经济学与统计学评论投稿，同样在没有得 到审稿意见的情况下遭到拒绝 投稿，同样在没有得 到审稿意见的情况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人在芝加哥人E. Fama和和M.