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1、2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题解析 一、选择题： 18 小题 ,每小题 4 分,共 32 分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上. （1）当0 x 时，下列无穷小量中最高阶的是（） (A)dte x t )1( 0 2 （B）dtt x 0 3 )1ln(（C）dtt xsin 0 2 sin（D）dtt xcos1 0 3 sin 答案 :(D) 解析： (A) 2 0 1)1( 22 xedte x x t ; （B） 33 0 3 )1ln()1ln(xxdtt x ）（; （C） 22 sin 0 2
2、 cos)sin(sinsinxxxdtt x ）（; （D）xxxxdtt x 33 cos1 0 3 4 2 sin)cos1(sinsin ）（ （2）函数 )2)(1( 1ln )( 1 1 xe xe xf x x 的第二类间断点的个数（） (A) 1 (B) 2 (C ) 3 (D) 4 答案：（ C ） 解析：间断点为2, 10 , 1 ，； )2)(1( 1ln lim 1 1 1 xe xe x x x ，故其为第二类无穷间断点； exe xe x x x 2 1 )2)(1( 1ln lim 1 1 0 ，故其为第一类间断点； )2)(1( 1ln lim 1 1 1 xe
3、 xe x x x ，故其为第二类间断点； )2)(1( 1ln lim 1 1 2 xe xe x x x （3）)( )1( arcsin 1 0 dx xx x - - (A) 4 2 (B) 8 2 (C) 4 (D) 8 答案： (A) 解析：令txarcsin，代入原式有：上式 4 cossin2 cossin 2 2 0 tdtt tt t . (4) 已知),3()1ln()( 2 nxxxf则)()0( )(n f （A） 2 ! n n （ B） 2 ! n n （C） n n!2- ）（ （D ） n n!2- ）（ 答案：（ A ） 解析： 1 22 )1ln()( n
4、 n n x xxxxf，则 2 1 !)0( )( n nf n (5) 关于 0 0 0 ),( xy yx xyxy yxf给出下列结论： (1)1 )0,0( x f （2）1 )0, 0( 2 yx f （3） 0),(lim 0 0 yxf y x （4） 0),(limlim 00 yxf yx 其中正确个数为（） (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 答案： (B) 解析：; 1 0)0,0(x x x f y y y fyf yx f y xx y 1 lim )0,0(),0( lim 00 )0, 0( 2 ； 0),(lim 0 0 yxf y x 0),(l
5、imlim 00 yxf yx 从而正确的命题有3 个. (6) 设)(xf在2,2上可导，, 0)()(xfxf则（） (A)1 )1( )2( f f (B)e f f ) 1( )0( (C) 2 )1( ) 1( e f f (D) 3 )1( )2( e f f 答案：（ B ） - - 解 析 ：, 0)()(xfxf可 得 函 数)()(xfexF x 单 调 递 增 ，2,2x， 从 而 effFF)1()0()1()0(. （7）四阶矩阵A不可逆，0 12 A， 4321 ，为A的列向量组， 则0 * xA的通解 为（） （A） 332211 kkkx (B) 432211
6、kkkx (C) 433211 kkkx（D） 433221 kkkx 答案：（ C ） 解析：由于四阶矩阵A不可逆，0 12 A， 故3)(Ar， 从而有1)( * Ar且0 * EAAA， 即 4321 ，就是0 * xA的解，又因为0 12 A，故 2可以由431 ，线性表 示，故 431 ，线性无关 .故正确答案为(C) (8) A为 3 阶矩阵， 21， 为属于特征值1 的线性无关的特征向量， 3为A的属于1的 特征向量，满足 1 1 1 1AP P的可逆阵P为（） （A） 3231 ,（B） 3221 , （C） 2331 ,， (D) 2321 , 答案： (D) 解析：相似对角
7、化的过程要求 P与 中的特征值有对应关系，从而由特征向量的性质可知 (D) 为正确选项 . 二、填空题： 914 小题 ,每小题 4 分,共 24 分请将答案写作答题纸指定的位置上. (9)设 )1ln( 1 2 2 tty tx ，则._ 1 2 2 t dx yd 答案：2- 解析： 3 2 2 2 2 1 1 1 t t t t t dx d dx dy dx d dx yd ，.2 12 2 t dx yd - - (10) 1 3 1 0 ._1 y dxxdy 答案： 9 224 解析：交换积分次序有 1 0 1 0 323 1 0 3 1 0 . 9 224 111 2 y x dxxxdyxdxdxxdy (11) 设),sin(arctanyxxyz则 ._ ),0( dz 答案：dydx)1（ 解析：dy yxxy yxx dx yxxy yxy dy y z dx x z dz 22 )sin(1 )cos( )sin(1 )cos( 代入yx,0可得 .) 1( ),0( dydxdz （12）斜边长为a2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面平齐，记重力 加速度为g，水密度为，则三角形平板的一侧受到的压力为._ 答案： 3
