工厂计划安排

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1、工厂计划安排 摘要： 本题是关于某工厂的生产计划安排的，由于要求最大收益，因此本题是最优化问题。首先 分析题目得出目标变量和约束变量，以不同的产品所需的机床加工时间、 市场容量以 及收益的不同为条件，然后题中要求建立线性规划数学模型，再用 lingo 软件进行编程， 最后通过求解模型得到最优解，即收益最大时的生产方案。 在问题一中，以各月份各种产品的产量为决策变量，最大收益为目标变量，分析产量，销 量，市场容量，存储量以及工时之间的相互约束，建立完整的模型并编程，运行得出结果。 在问题二中，将市场价格的某种变化和引入新机床分开考虑。研究市场价格的 变化时， 将新的产品收益矩阵 P 替代产品的原

2、始收益矩阵P即可得到获得最大收 益的可行方案；研究引入新机床时，本文采用逆向思维分析确定引入何种新机床 使得收益最大，并给出了收益最大时的生产方案。 在于问题三，建立了一个维修矩阵Y，表示各月所要维修的机床及数量，通 过综合考虑各月获得最大收益的条件， 运用线性规划的思想在问题一的模型的基 础上求出了最佳维修方案，进而确定了最佳生产计划，使得总收益最大。 关键字：线性规划，最优化问题，lingo。 一、问题重述 工厂计划 某厂拥有 4 台磨床、2 台立式钻床、3 台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用 以生产 7 种产品，记作 P1 至 P7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之剩 余。每种产品

3、单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表： 产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 收益 10 6 8 4 11 9 3 磨 0.5 0.70 0 0 0.3 0.2 0.5 垂直钻孔 0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0 水平钻孔 0.2 0 0.8 0 0 0 0.6 镗孔 0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08 刨 0 0 0.01 0 0.05 0 0.05 本月（一月）和随后的 5 个月中，下列机床停工维修： 一月 磨床一台 二月 卧式钻床 2 台 三月 镗床一台 四月 立式钻床一台 五月 磨床一台，立式钻床一台上台下 六月 刨床一台，卧式钻

4、床一台 各种产品各月份的市场容量如下表： 产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 一月 500 1000 300 300 800 200 100 二月 600 500 200 0 400 300 150 三月 300 600 0 0 500 400 100 四月 200 300 400 500 200 0 100 五月 0 100 500 100 1000 300 0 六月 500 500 100 300 1100 500 60 每种产品存货最多可到 100 件。存费每件每月为 0.5。现在无存货。要求到 6 月 底每种产品有存货 50 件。 工厂每周工作 6 天，每天 2 班，每班

5、8 小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。 1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？考虑价格的某种 变化及引入新机床对计划和收益的影响。 注意，可假设每月仅有 24 个工作日。 2、在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是如问题 1 那样规定 3 月份， 而是选择最合适的月份维修。 除了磨床外，每台机床在这个月中的一个月必须停工维修；6 个月中 4 台 磨床只有 2 台需要维修。 扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的 这种灵活性价值如何？ 二、问题分析 分析题意可知，最大收益=产品的销售利润-产品的储存费用，由此目标函数分析各约束 变量之间的关系， 再

6、根据题中对于机床停工维修以及每月公式的安排得出其余的约束条 件，列出所有的关系式，建立合理的模型，用 lingo 求解后分析结果得出各月份各种产 品的产量安排。 三、模型假设 1、 假设各种机床除维修时间外均能正常工作； 2、 机床维修不需要费用； 3、 不需要考虑排队等待加工的问题； 4、 工作每周工作 6 天，每天两班，每班 8 小时； 5、 每天连续加工 16 个小时，不考虑换班所需时间； 6、 生产的产品没有任何质量问题。 四、变量声明 7,.,2 , 1, 6,.,2 , 1jixij 第i个月生产 j p产品的件数 5,.,2 , 1kaki 第i个月使用第k种机床的台数 （1,2

7、,5k 分别表示磨床、立式钻床、卧式钻床、镗床和刨床） kj t 生产一件 j p产品需要由第k种机床加工的时间 t 工厂每个月的工作时间 j p 单件 j P产品的收益 ij c 第i个月 j P产品的市场容量 ij s 第i个月 j P产品的存货量 ij n 第i个月 j P产品的销售量 s Z 6个月产品的总存费 p Z 6个月产品的总毛收益 Z 6个月产品的总纯收益 ik l 第i次增加第k种机床得到的额外利润。 rk l 第i次增加第k种机床增加的成本。 ki y 第i个月维修第k种机床的台数。 ki b 第i个月该工厂拥有第k种机床的台数。 五、模型的建立与求解 1、 模型的建立

8、根据题目的已知条件，我们可以得到第i个月正常使用第k种机床的台数的 矩阵A为： 011111 111011 333313 211222 434443 56ki aA 单件 j P产品需由第k种机床加工的时间 kj t的矩阵T为： 05. 0005. 0001. 000 08. 001 . 007. 0003. 005. 0 6 . 00008 . 002 . 0 06 . 003 . 002 . 01 . 0 5 . 02 . 03 . 00070. 05 . 0 57ki tT 单件 j P产品的收益 j p的矩阵P为： 17 106841193 j Pp。 第i个月 j P产品的市场容量

9、ij c的矩阵C为： 605001100300100500500 030010001005001000 1000200500400300200 10040050000600300 1503004000200500600 1002008003003001000500 67 ij cC 第i个月 j P产品的存货量满足以下关系式：0100 ij s（即每月每种产品存 货最多可到100件） ，且 6 50 (1,2,7) j sj（即到6月底每种产品都有存货 50件） 。 从而我们可以推出，第i个月 j P产品的销售量 ij n为 1 ijijijij nsxs ，且需 满足第i个月 j P产品的销

10、售量不能超过第i个月 j P产品的市场容量，即 ijij nc。 设工厂每个月的工作时间为t，则单种机床在第i个月的工作时间需满足关 系式0 kjijki t xa t，即每个月各种机床生产每一种产品的所花的时间不应超过该 月该机床的总工作时间。 6个月产品的总存费 s Z为： 76 11 0.5 sij ij Zs 。 6个月产品的总毛收益 p Z为： 76 11 piij ij Zp n 。 6个月产品的总纯收益Z为： ps ZZZ。 综上所述，得到问题一的单目标线性规划模型： 6767 1111 1 6 max0.5 0100,1,2,6,1,2,7, ,1,2,6,1,2,7, . .

11、0,1,2,6,1,2,7,1,2,5, ,1,2,6,1,2,7, 50,1,2,7. jijij ijij ij ijij kjijki ijijijij j Zp ns sij nc ij stt xa tijk nsxs ij sj 使用LINGO软件编程（程序见附件1）对该单目标线性规划模型进行求解， 我们用EXCEL软件将得到的结果（各月份的产量、存货量和销售量）整理如下 列表格所示： 表二各种产品各月份的产量表 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 一月 500 888 383 300 800 200 0 二月 700 600 117 0 500 300 250

12、 三月 0 0 0 0 0 400 0 四月 200 400 400 600 300 0 200 五月 0 0 600 0 0 300 0 六月 550 550 0 350 0 550 0 产 品 产 量 月 份 总量 1950 24381500125016001750 450 表三各种产品的各月份销售量表 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 一月 500 888 300 300 800 200 0 二月 600 500 200 0 400 300 150 三月 100 100 0 0 100 400 100 四月 200 300 400 500 200 0 100 五月

13、0 100 500 100 50 300 0 六月 500 500 50 300 0 500 50 总量 1900 23881450120015501700 400 表四各种产品的各月份存货量表 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 一月 0 0 83 0 0 0 0 二月 100 100 0 0 100 0 100 三月 0 0 0 0 0 0 0 四月 0 100 0 100 100 0 100 五月 0 0 100 0 50 0 100 六月 50 50 50 50 50 50 50 总量 150 250 233 150 300 50 350 存费（元） 75 125

14、116.575 150 25 175 上述三个表格中的数据，即为收益最大情况下，工厂安排各种机床生产各种 产品的计划。工厂按此计划生产六个月，获得的总毛收益83278 p Z 元，总存费 为741.5 s Z 元，总收益82536.5Z元。这就是用我们建立的单目标线性规划模 型计算的最大收益。 22市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响 2.2.1市场价格的变化对计划和收益的影响 市场价格的变动， 实际是改变了单件产品的收益。 根据最大收益的计算公式： 6767 1111 max0.5 jijij ijij Zp ns ， 市场价格的变

15、化不会导致产品销售量和存货量的改变， 若所有产品的市场价 产 品 售 量 月 份 销 产 品 货 量 月 份 存 格都增加，或者部分产品的市场价格增加，其他产品的市场价格不变，必然会使 得工厂的最大收益增加；而若所有产品的市场价格都降低，或者部分产品的市场 价格降低，其他产品的市场价格不变，必然导致工厂的最大收益降低。当部分产 品的市场价格增加，其他产品的市场价格降低的时候，工厂的最大收益有可能增 加，也有可能降低。这个时候，我们可以利用问题一的模型，用单件 j P产品的收 益矩阵 P替代问题一的模型中的收益矩阵P， 计算出产品市场价格改变后工厂的 最大收益，从而来研究市场价格的变化对计划和收益的影响。 2.2.2引入新机床对计划和收益的影响 引入新机床必然会使生产成本增加，由于购买机床的成本未知，这使得工厂 的最大利益不易求得。因此，我