《直线和圆的位置关系 (1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线和圆的位置关系 (1)（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、个性化教案直线与圆的位置关系适用学科高中数学适用年级高二适用区域新课标地区课时时长（分钟）60知识点直线与圆的位置关系及其判定方法弦长与切线问题圆与圆的位置关系及其判定方法直线与圆的方程的应用直线、圆的综合问题教学目标1、能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系。2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。教学重点直线与圆、圆与圆的位置关系教学难点数形结合思想方法的应用教学过程一、复习预习1直线的方程；2圆的方程；3直线与圆、圆与圆的位置关系；4数形结合思想方法的应用。二、知识讲解1研究圆与直线的位置关系最常用的方法：判别式法；考查圆心到直线的距离与半
2、径的大小关系直线与圆的位置关系有三种，若，则 ; ； 2.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为，半径分别为，3 直线和圆相切： 圆的方程为，点在上，则过的切线方程为 过圆外一点求圆的切线方程，一般用待定系数法解决三、例题精析【例题1】已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为( )（A） (B)(C) (D) 【答案】圆心在上，排除C、D，再结合图象，或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可选B【解析】选择题是一类特殊的考查方式，有其自身的解题规律做选择题，首先要研究选项，观察共性与区别，确定解题思路；并注意适当应用带入验证法、反例排除法、数形结合法、特值法等，以使解题过程优
3、化，“小题小做”【例题2】从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A B C D【答案】圆化成圆的标准方程为其圆心为，半径为，从圆外一点向这个圆作两条切线，则点到圆心的距离等于，每条切线与的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B【解析】本题考查了直线与圆的位置关系及三角函数的相关知识，有一定的综合性，对计算与推理能力也有一定要求首先，通过配方法把圆的一般方程转化为圆的标准方程，确定圆心和半径，再利用圆的相关性质和三角函数公式，使问题得到解决特别值得注意的是，直线和圆相切，是直线和圆的位置关系中的特殊情况，也是考查的重点解决此类问题，要充分利用圆的相
4、关几何性质，数形结合【例题3】过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）A 2 C 【答案】过原点且倾斜角为的直线方程为，圆化成标准方程为，圆心到直线的距离为，因此，弦长为选D【解析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，弦长与半径、弦心距之间的关系通过配方，把圆的一般方程转化为圆的标准方程，以确定圆心和半径，是数形结合解决直线与圆位置关系问题的基础，要熟练掌握配方法，培养数形结合的意识和思想，提高推理和计算能力，合理应用圆的平面几何性质【例题4】圆和圆的位置关系是（ ）A相离 B相交 C外切 D内切【答案】圆的圆心为半径为，圆的圆心为，半径为，所以因为，所以两圆相交选B【解析】本题
5、主要考查圆与圆的位置关系，方法是比较圆心距与两圆半径的和与差的大小关系【例题5】若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 【答案】【解析】本题主要考查对几何图形的观察和应用能力对圆的切线的几何性质的准确理解是问题解决的关键【例题6】由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）A1 B C D3【答案】设圆心到直线的距离为，则切线长的最小值为因为，所以选C【解析】本题考查点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系从圆外一点引圆的切线，连结该点与圆心的线段、过切线切点的半径及切线长构成直角三角形，满足勾股定理，该性质是本题解决的关键【例题7】已知过点的直线被圆所截
6、得的弦长为，求直线的方程【答案】 将圆的方程写成标准形式，得 ，所以，圆心坐标是，半径长因为直线被圆所截得的弦长为，所以弦心距为，即圆心到所求直线的距离为因为直线过点，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，所以可设所求直线的方程为，即根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线的距离因此，即，两边平方，并整理得到，解得，或所以，所求直线有两条，它们的方程分别为，或【解析】 本题考查了直线与圆的位置关系，具有一定的综合性解题过程，数形结合的思想方法得到了较好的体现合理利用圆的相关性质，使得解题过程合理，运算简化【例题8】已知圆和直线交于、两点，且（为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径【答案】 由消去，得
7、设、，则、满足条件，而， ，此时，圆心坐标为，半径【解析】本题考查了直线和圆的位置关系，要认真体会数形结合及方程思想在解题过程中，采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式是否大于零帮助考虑,体会垂直条件是怎样转化的，以及韦达定理的作用，处理、与、的对称式，在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算，我们要认真总结，灵活应用【例题9】一个圆和已知圆外切，并与直线: 相切于点，求该圆的方程【答案】已知圆方程化为标准形式为 ，其圆心，半径为设所求圆的圆心为，则半径为，因为两圆外切，所以 ，从而 又所求圆与直线：相切于，直线，于是，即 将代入化简，得， ，或
8、当时，所求圆方程为当时，所求圆方程为【解析】本题考查了直线与圆及圆与圆的位置关系我们先设出圆心坐标，再根据已知条件建立方程组，通过解方程组最终实现问题的解决解题过程，充分体现了待定系数的思想方法另外，解决与圆有关的问题，要数形结合，充分考虑圆的几何性质，从而使问题求解得到优化【例题10】已知方程为，定点，求过点且和相切的动圆圆心的轨迹方程【答案】解法一：设动圆圆心为，因为动圆过定点，所以即动圆半径当动圆与外切时，；当动圆与内切时，综合这两种情况，得将此关系式坐标化，得 化简可得解法二：由解法一可得动点P满足几何关系即点到两定点、的距离差的绝对值为定值，所以点轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，
9、中心在中点，实半轴长，半焦距，虚半轴长，所以轨迹方程为【解析】 本题以直线和圆的相关知识为背景，考查满足条件的动点轨迹方程问题解题过程，充分体现和应用了坐标法 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论【例题11】已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程【答案】（1）证明：l的方程可
10、化为（x+y4）+m（2x+y7）=0mR，得，即l恒过定点A（3，1）圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点（2）弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0【解析】本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想 解题关键是抓住图形的几何性质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化/推理，达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨【例题12】实数满足， 求下列各式的最大值和最小值：（1） ； （2）【答案】原方程为，表示以为圆心，2为半径的圆 （1）设，几何意义是：圆上点与点连线的斜率 由图可知当直线MQ是圆的切线时，取最大值与最小值。 设切
11、线，即 圆心P到切线的距离，化简为，解得或 的最大值为0，最小值为（2）设，几何意义是：直线与圆有公共点 圆心P到直线的距离2，解得 的最大值为，最小值为【解析】代数式最大值最小值的研究，常用数形结合思想方法，将要研究的代数问题转化为几何问题，关键是如何挖掘代数式的特点，利用几何意义进行转化。例如，由代数式联想到两点的距离公式，或圆的方程；由代数式联想到两点的斜率，或直线的方程；由代数式联想到直线的方程；由代数式联想到数轴上到两点的距离之和等等。四、课堂运用【基础】1. 若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2y22x0相切，则a的值为 【答案】-1【解析】将圆x2y22x0的方程化为标准式：（
12、x1）2y21， 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1a）xy10与该圆相切，则圆心到直线的距离， a1 2. 求直线被圆所截得的弦长【答案】【解析】 由题意，列出方程组，消y得，得，设直线与圆交于点，则 =另解：圆心C的坐标是，半径长 圆心到直线的距离所以，直线被圆截得的弦长是【巩固】1. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 【答案】1【解析】圆的标准方程为，则圆心，半径设过点的直线方程为，即 圆心到切线的距离，解得 直线方程为，在y轴上的截距是12. 已知圆：，圆：（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程【答案】相交；【解析】（1）圆的圆心为（3，0），半
13、径为，圆的圆心为（0，2），半径为， 又， 圆与相交（2）由，得公共弦所在的直线方程为【拔高】1. 求圆与圆的公共弦的长【答案】【解析】由题意，列出方程组，消去二次项，得把代入，得，解得，于是，两圆的交点坐标是，所以，公共弦长另解：由题意，列出方程组，消去二次项，得，它即公共弦所在直线的方程圆的圆心到直线的距离为所以，两圆的公共线长为课程小结一条规律过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可一个指导直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质解题时应根据具体条件选取合适的方法两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式|AB|xAxB|.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法课后作业【基础】1直线4x3y20与圆的位置关系是（ ） A相交B相切 C相离D以上都不对【答案】A【解析】A2若直线与圆有公共点，则（ ） AB
