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1、第二讲 证明不等式的基本方法（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用分析法证明不等式的推论过程一定是()A正向、逆向均可进行正确的推理B只能进行逆向推理C只能进行正向推理D有时能正向推理，有时能逆向推理解析：选B在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需能进行逆向推理即可2使不等式1成立的正整数a的最大值为()A10 B11 C12 D13解析：选C用分析法可证a12时不等式成立，a13时不等式不成立3(四川高考)若ab0，cd0，则一定有()A. B.
2、D.n，nN*，a(lg x)m(lg x)m，b(lg x)n(lg x)n，x1，则a与b的大小关系为()Aab BabC与x值有关，大小不定 D以上都不正确解析：选A要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小ablgmxlgmxlgnxlgnx(lgmxlgnx)()(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(1)(lgmxlgnx)(1)x1，lgx0.当0lgx1时，ab；当lgx1时，ab；当lgx1时，ab.应选A.6已知a、b、c为三角形的三边且Sa2b2c2，Pabbcca，则()A
3、S2P BPSP DPS2P解析：选Da2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2，同理b22bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)，即Sp BmnpCnmp Dnmp解析：选A由已知，知m，n，得ab0时mn，可否定B、C.比较A、D项，不必论证与p的关系取特值a4，b1，则m4，n213，mn，可排除D.8设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca解析：选A构造指数函数y()x(xR)，由该函数在定义域内单调递减可得bc；又y()x(xR)与y()x(
4、xR)之间有如下结论：当x0时，有()x()x，故()()，所以ac，故acb.9已知a，b，c，dR且S，则下列判断中正确的是()A0S1 B1S2 C2S3 D3S4解析：选B用放缩法，；.以上四个不等式相加，得1SNPQ BMPNQCMPQN DNPQM解析：选D，0sin cos .|sin |cos |，P|sin cos |(|sin |cos |)(|sin |sin |)|sin |M.P(|sin |cos |)PM.对于QP.而Q|sin |M，NPQM.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填写在题中的横线上)11如果abab，则实数a，b应该满足的条
5、件是_解析：由知a0，由知b0，而abab，知ba.此时ab(ab)()2()0，不等式成立答案：a0，b0，ab12设0mnab，函数yf(x)在R上是减函数，下列四个数f，f，f，f的大小顺序依次是_解析：1fff.答案：ffff13设，为锐角，且Msin()，Nsin sin ，则M，N的大小关系是_解析：sin()sin cos cos sin sin sin .答案：MN14用反证法证明“已知平面上有n(n3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为_解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对
6、应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n1条”答案：直径的数目至少为n1条三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明：由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()当ab时， ，从而()5()5，得()0；当ab时，从而()50.所以a3b3(a2b2)16(本小题满分12分)求证：3.证明：233.17(本小题满分12分)设a，b，c，d均为正数，求证： .证明：欲证 ，只需证( )2(ac)2(bd)2，即 acbd，就是证(a2b2)(c2d2)(acbd)2，就是证b2c2a2d22abcd.也就是证(bcad)20.此式显然成立，故所证不等式成立18(本小题满分14分)设f(x)ln x1，求证：(1)当x1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0.又g(1)0，故g(x)0，即f(x)(x1)(2)记h(x)f(x)，当1x3时，由(1)得h(x).令l(x)(x5)3216x,1x3，l(x)3(x5)22160，因此l(x)在(1,3)内是递减函数，又由l(1)0，得l(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数又由h(1)0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x).
