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1、2.2.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？思考3若存在1，2R，1，2R，且a1e12e2，a1e12e2，那么1，1，2，2有何关系？梳理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么该平面内的_向量
2、a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a_.(2)基底把_向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式.知识点二直线的向量参数方程式思考1什么是直线的向量参数方程？思考2直线的向量参数方程式有什么用途？梳理(1)直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上_一点P，存在唯一的实数t满足向量等式_，反之，对每一个实数t，在直线l上都有_的一个点P与之对应.向量等式_叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称_.(2)线段中点的向量表达式在向量等式(1t)t中，若t，则点
3、P是AB的中点，且_，这是线段AB的中点的向量表达式.类型一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.A. B. C. D.反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列
4、四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1e2，e2e1 B.2e1e2，e1e2C.2e23e1,6e14e2 D.e1e2，e1e2类型二平面向量基本定理的应用例2如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.引申探究若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基底表示，.反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2如图所示，在AOB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于
5、点P，用基底a，b表示.1.下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A. B. C. D.2.如图，已知Aa，b，3，用a，b表示，则等于()A.abB.abC.abD.ab3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.4.如图所示，在正方形ABCD中，设a，b，c，则当以a，b为基底时，可表示为_，当以a，c为基底时，可表示为_.5.已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的
6、中点，设a，b，试用a、b为基底表示，.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.答案精析问题导学知识点一思考1能依据是数乘向量和平行
7、四边形法则思考2不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示思考3由已知得1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2.e1与e2不共线，110，220，11，22.梳理(1)不平行任一a1e1a2e2(2)不共线知识点二思考1若P在直线AB上(或P、A、B共线)，则一定存在实数t，使得(1t)t.思考2利用直线的向量参数方程可证明三点共线梳理(1)任意(1t)t唯一(1t)t参数(2)()题型探究例1B跟踪训练1D例2解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.引申探究解取CF的中点G，连接EG.E，G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，(ab)ab.又，b(ab)ab.跟踪训练2ab.当堂训练1C2.B3.15124.ab2ac5解连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DC綊FB，四边形DCBF为平行四边形依题意，b，ab，bba.
