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1、第四章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1若直线3xya0平分圆x2y22x4y0,则a的值为 (B)A1B1C3D3解析圆心(1,2)在直线3xya0上,32a0,a1.2(2016高台高一检测)已知直线axbyc0(a、b、c都是正数)与圆x2y21相切,则以a、b、c为三边长的三角形是 (B)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不存在解析由题意,得1,a2b2c2,故选B3(2016北京文)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为 (C)A1B2CD2解析由圆的标准方程(x1)2y22,知圆心为(1,0),故圆心到直线yx3,即xy30的距离d.4(20
2、16铜仁高一检测)直线xym与圆x2y2m(m0)相切,则m (D)ABCD2解析圆心到直线距离,解得m2.5圆心坐标为(2,1)的圆在直线xy10上截得的弦长为2,那么这个圆的方程为 (A)A(x2)2(y1)24B(x2)2(y1)22C(x2)2(y1)28D(x2)2(y1)216解析d,r2,圆的方程为(x2)2(y1)24.6圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有 (C)A1个B2个C3个D4个解析圆心(3,3)到直线3x4y110的距离,d2,又r3,故有三个点到直线3x4y110的距离等于1.二、填空题7(2016天津文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上
3、,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2xy0的距离为,则圆C的方程为_(x2)2y29_.解析设圆心为(a,0)(a0),则圆心到直线2xy0的距离d,解得a2,半径r3,所以圆C的方程为(x2)2y29.8过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦,其中最短弦的长为_2_.解析最短弦为过点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,易知弦心距d,所以最短弦长为222.三、解答题9当m为何值时,直线xym0与圆x2y24x2y10有两个公共点?有一个公共点?无公共点?解析由,得2x22(m3)xm22m10,4(m3)28(m22m1)4m28m28,当0,即21m21时,直线与圆相交
4、,有两个公共点;当0,即m21或m21时,直线与圆相切,有一个公共点;当0,即m21时,直线与圆相离,无公共点10(2016潍坊高一检测)已知圆C:x2(y1)25,直线l:mxy1m0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)若直线l与圆C交于A、B两点,当|AB|时,求m的值解析(1)解法一:由,消去y整理,得(m21)x22m2xm250.(2m2)24(m21)(m25)16m2200,对一切mR成立,直线l与圆C总有两个不同交点解法二:由已知l:y1m(x1),故直线恒过定点P(1,1)12(11)25,P(1,1)在圆C内直线l与圆C总有两个不同的交点(2)解法一
5、:圆半径r,圆心(0,1)到直线l的距离为d,d.由点到直线的距离公式,得,解得m.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|.m.B级素养提升一、选择题1过点(2,1)的直线中,被圆x2y22x4y0截得的弦最长的直线的方程是 (A)A3xy50B3xy70C3xy10D3xy50解析x2y22x4y0的圆心为(1,2),截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1,2)直线方程为3xy50,故选A2(2016泰安二中高一检测)已知2a22b2c2,则直线axbyc0与圆x2y24的位置关系是 (A)A相交但不过圆心B相交且过圆心C相切D相离解析2a22b2c2,a2b2.圆心(0
6、,0)到直线axbyc0的距离d0)上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于1,则圆半径r的取值范围是 (B)A3r5B4r4Dr5解析圆心C(3,5),半径为r,圆心C到直线4x3y20的距离d5,由于圆C上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于1,则d1rd1,所以4r4,点Q在圆外设切线方程为yk(x3),即kxy3k0.直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,2,k,所求切线方程为2xy60.解法二:设切点为M(x0,y0),则过点M的切线方程为x0xy0y4,点Q(3,0)在切线上,x0又M(x0,y0)在圆x2y24上,xy4由构成的方程组可解得,或.所求切线方程为xy4或xy4,即2xy60或2xy60.2设圆上的点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上,且与直线xy10相交的弦长为2,求圆的方程.解析设圆的方程为(xa)2(yb)2r2.由已知可知,直线x2y0过圆心,则a2b0,又点A在圆上,则(2a)2(3b)2r2,因为直线xy10与圆相交的弦长为2.所以()2()2r2解由所组成的方程组得,或.故所求方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.