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1、1采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双 调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁 纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边
2、界条件通过极坐标形式描述和表达。本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并2且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐 标平衡微分方程；3、极坐 标下的应变分量；4、几何方程的极坐 标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐 标系的 Laplace 算符；7、应力函数。1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元
3、体 ABCD，其由两个相距 d 的圆柱面和互成 d 的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用 表示径向正 应力，用 表示环向正应力, 和 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理， 。首先推导平衡微分方程的极坐标形式。考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设 AB 面上的应力分量为 和 ,则 CD 面上的应力分量为如果 AD 面上的应力分量为 和 ，则 BC 面上的 应力分量为。同时，体力分量在极坐标径向 和环向 方向的分量分 别为 Fb和 Fb。32、极坐标平衡微分方程设单元体的厚度为 1，如图所示考察其平衡首先讨论径向的平衡，注意到 ，可以得到简化上式，并且略去三阶微量，则同理，
4、考虑微分单元体切向平衡，可得4简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即3、极坐标下的应变分量以下推导极坐标系统的几何方程。在极坐标系中，位移分量为 u，u，分别为径向位移和环向位移。极坐标对应的应变分量为：径向线应变 ，即径向微分线段的正应变；环向线应变 为环向微分 线段的正 应变；切应变 为径向和环向微分线段之间的直角改变量。首先讨论线应变与位移分量的关系，分别考虑径向位移环向位移 u，u 所引起的应变。如果只有径向位移 u，如图所示借助于与直角坐标同样的推导，可以得到径向微分线段 AD 的线应变为 ；环向微分线段 AB= d 的相对伸长为 ；如果只有环向位移 u 时，径向微分线段线没
5、有变形，如图所示5环向微分线段的相对伸长为 ；将上述结果相加，可以得到正应变分量, 4、几何方程的极坐标表达下面考察切应变与位移之间的关系。设微分单元体 ABCD 在变形后变为 ABCD，如 图 所示因此切应变为 =+ (- ) 上式中 表示环向微分线段 AB 向 方向转过的角度，即 ；表示径向微分线段 AD 向 方向转过的角度，因此 ；而 角应等于A 点的 环向位移除以该点的径向坐标 ，即 。将上述结果回代，则一点的切应变为 。综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为 65、本构方程的极坐标表达由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本构方程与直角坐标的表达形式是相同的，只要将其中的坐标
6、 x 和 y 换成 和 就可以了。对于平面应力问题，有对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数 E，分别换为， 就可以。Ev216、极坐标系的 Laplace 算符平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中为 。由于 x+y= +为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的 Laplace 算符 转换为极坐标的形式。因为，x= cos， y= sin ，即 。将 和 和分别对 x 和 y 求偏导数，可得7根据上述关系式，可得以下运算符号则将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的 Laplace 算符。另外，注意到应力不变量 ，因此在极坐标系下，平面问题的由应力表达的变形
7、协调方程变换为 7、应力函数如果弹性体体力为零，则可以采用应力函数解法求解。不难证明下列应力表达式是满足平衡微分方程的8这里 (，)是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得 显然这是极坐标形式的双调和方程。总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都 归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式求解应力，然后通过物理方程和几何方程求解应变分量和位移分量。97.2 轴对称问题的应力和相应的位移学习思路:如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时，称为轴对称结构。轴对
8、称结 构的应力分量与 无关，称为轴对称应力。如果位移也与 无关，称为轴对称位移问题。本节首先根据应力分量与 无关的条件，推导轴对称应力表达式。这个公式有 3 个待定系数，仅仅根据 轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。因此讨论轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后代入胡克定理第三式，确定待定函数。轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解答。应该注意的问题是如何确定轴对称问题。学习要点：1、轴对称应力分量；2、 轴对称位移；3、 轴对称位移函数推 导；4、 轴对称位移和应力表达式。1、轴对称应力分量考察弹性体的应力与 无关的特殊情况，如图所示
9、。即应力函数仅为坐标 的函数。这样，变形协调方程即双调和方程成为常微分方程10如将上式展开并在等号两边乘以 4，可得这是欧拉方程，对于这类方程，只要引入变换 =et，则方程可以变换为常系数的微分方程，有其通解为注意到 t = ln ，则方程的通解为将上式代入应力表达式则轴对称应力分量为上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的，因此称为轴对称应力。2、轴对称位移现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。11对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程可得应变分量根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。将上式代入几何方程可得位移关系式 对上述公式的第一式积分，可得12其中 f（ ）为 的任意函数。
10、将上式代入公式的第二式则积分后可得这里 g()为 的任意函数。3、轴对称位移函数推导将径向位移和环向位移的结果代入公式的第三式则或者写作上式等号左边为 的函数，而右 边为 的函数。显然若使上式对所有的 和 都成立，只有13其中 F 为任意常数。以上方程第一式的通解为这里 H 为任意常数。为了求出 f( )，将方程的第二式 对 求一次导数，可得其通解为 。另外将上述公式分别代入位移表达式可得位移分量的表达式4、轴对称位移和应力表达式位移分量的表达式中的 A，B，C，H，I，K 都是待定常数，其取决于 边界条件和 约束条件。上述公式表明应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但是在轴对称应力中，假如物
11、体的几何形状和外力，包括几何约束都是轴对称的，则 位移也应该是轴对 称的。 这时，物体内各点的环向位移均应为零，即不论 和 取什么值，都应有 u0。因此,B = H = I = K = 0 。所以，轴对称应力表达式可以 简化为14而位移表达式简化为上述公式当然也可以用于平面应变问题，只要将 E，分别换为即可。7.3 圆筒受均匀分布压力的作用学习思路:本节介绍典型的轴对称问题，厚壁圆筒作用均匀压力的求解。问题的主要工作是通过边界条件确定轴对称应力公式中的待定系数。除了厚壁圆筒作用内外压力，还分析了作用内压力的圆筒应力分布。这个解答工程上称为拉梅（Lam）解答，是厚壁圆筒等工程问题的经典解答。学习
12、要点：1、厚壁圆筒内外作用均匀压力；2、厚壁 圆筒受内压力1、厚壁圆筒内外作用均匀压力设有圆筒或圆环，如图所示内半径为 a，外半径为 b，受内压力 q1 及外压力 q2 的作用。显然，问题的应力是轴对称的，如果不计刚体位移，则其位移也是轴对称的。将轴对称应力公式15代入本问题的边界条件求解可得联立求解上述公式，可得将上述所得的 A，C 回代轴对 称应力公式可得 Lam 解答2、厚壁圆筒受内压力当外壁压力 q2为零时，即圆筒仅受内壁压力的作用，则圆筒应力为 16根据上述分析，容易看到径向应力小于零， 为压应力；而环向应力大于零， 为拉应力。最大应力为发生在内壁的拉应力，其 值为7.4 曲梁纯弯曲
13、学习思路:本节介绍曲梁纯弯曲问题。对于曲梁，其几何形状并不具有轴对称性质，但是对于纯弯曲问题，其任意横截面的内力具有轴对称性质。因此这是一个典型的轴对称应力问题。由于问题属于轴对称应力，但是却不是轴对称位移，因此应该注意选取的应力和位移表达式。问题性质确定后，主要工作仍然是通过边界条件确定轴对称应力表达式的待定系数。除了曲梁纯弯曲应力分布分析，本节还讨论了曲梁的变形和位移。根据分析，曲梁纯弯曲的横截面是保持平面的，但是弯曲应力 沿横截面高度按双曲线分布，这与直梁的弯曲应力是不同的。因此，平面假 设 用于曲梁是不准确的。 学习要点：1、曲梁纯弯曲边界条件；2、曲梁弯曲 应力；3、曲梁纯弯曲位移与
14、平面假设1、曲梁纯弯曲边界条件设有矩形截面的曲梁，如图所示17其内半径为 a，外半径为 b，两端受弯矩作用，设单 位宽度的弯矩为 M。取曲率中心为坐标原点 O，从梁的一端量取 。由于梁的所有径向截面上的弯矩均相同， 因此可以认为各个截面的应力分布是相同的，也就是说应 力分布是轴对称的。其 应 力分量满足轴对称应力公式根据边界条件可以确定待定常数 A，B，C。本问题的 边界条件为将轴对称应力分量代入上述边界条件，可以得到182、曲梁弯曲应力上述公式的第三式是第一，第二式线性组合的必然结果。将其余三个方程联立求解。可以得到其中将上述系数代入应力分量表达式，不难看出则19上述应力分量表达式称为克洛文解。应力分布如图所示在内边界，即 = a，弯曲应力 最大。中性 轴，即 =0 处，在靠近内 边界一侧。挤压应力 的最大值较 中性轴更靠近内边界一 侧。3、曲梁纯弯曲位移与平面假设对于曲梁的弯曲位移，可将系数 A, B, C 代入轴对称应力的位移表达式而其余待定常数 H，K，I 将由梁的约束条件来确定。假设， 和 即认为 P 点的位移为零，而且 该点的径向微分线段沿 方向的转角也为零，如图所示将轴对称位移据表达式代入上述位移边界条件，则20将上述待定系数回代 轴对称应力的位移表达式则可得曲梁的位移。以下讨论平面截面的假设，为此考虑曲梁的环向位移曲梁横截面上的任一径向微分线段的
