Ch.8 投资组合理论

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1、Ch.8 投資組合 Ch.8 投資組合 第一節 馬可維茲投資組合 第二節 個別證券平均與標準差，及證券間之共變與相關係 第三節 投資組合平均與標準差 第四節 預期報酬變效組合分析 第五節 分散投資風險（系統風險與非系統風險） 第節 衡組合內單一證券之相對風險 第七節 結 第一節 馬可維茲投資組合 第一節 馬可維茲投資組合 馬可維茲(Markowitz)博士在 1952 提出他的平均/變投資組合，開啟現 代投資組合研究的大門，也在 1990 與夏普(Sharpe) 博士及米(Miller) 博士共同得到 貝爾經濟學獎。這也是貝爾經濟學獎成以，第二頒給財務學研究域的學者 1。 第二節 個別證券平均

2、與標準差，及 證券間之共變相關係 第二節 個別證券平均與標準差，及 證券間之共變相關係 個別證券平均(Mean) 個別證券平均(Mean) 財務學上所謂的預期報酬 )( RE 是用統計學裏的平均估計。個別證券平 均R的公式如下： R= j N j j RP * 1 ， 1 前一次是頒給研究公司資本結構的莫迪尼亞(Modigliani)。 其中j P 是發生j情況之機，j R 是在j情況下之證券報酬，N表示共有N 個可能情況會發生。如果我們用史資估計R，即假設所有觀測值的發生機都一 樣，都是 T/1 ，則i證券平均報酬公式可表達如下： T R R T t ti i 1 , 個別證券標準差個別證券

3、標準差(Standard Deviation)或變或變(Variance) 財務學上所謂的風險，一般可以統計學上的標準差(Standard Deviation)或變 (Variance)表達，主要是在強調報酬的確定性。 標準差 或變 2 之公式如下： 2 i = 2 , 1 * iji N j j RRP 其中j P 是發生 j 情況之機， ji R , 是在 j 情況下之i證券報酬，N 表示共有N個可能情況會發生。將 2 開根方即得。 用過去已發生之資，如過去之報酬樣本，估計風險，我們可 用標準差 s 或變 2 i s 表達如下： 1 2 1 , 2 T RR s T t iti i ， 其

4、中i s 是指i証券之報酬標準差，ti R ,是指i証券在 t 期之 報酬， t 是指事件發生日，T是指樣本之觀測值總。 此外，像級距級距(Range)之觀在財務學上亦可視為風險。如，國內股市漲跌幅上下限 各為7%，如此，單日投資之風險最高可達14%。如漲停板價買進股票，收盤卻跌停，當 日即可損失約14%。 證券間之共變與相關係證券間之共變與相關係 jmjimi N m mij RRRRP , 1 證券間之共變ij 可以用下公式表達： 其中 m P 是發生m情況之機， mi R , 是在m情況下之i證券報酬 ，mj R ,是在m情況下之 j 證券報酬，N表示共有N個可能 情況會發生。另外，如果

5、我們用史資分析，即假設所有觀測 值的發生機都一樣，則ij 可以用下公式表達： 1 1 , T RRRR T t jtjiti ij 證券i與j報酬的相關係可以用下公式表達 ji ij ij i,j 證券最近十日之報酬如下表： Ri Rj 1 0.020.02 2 0.03-0.04 3 -0.040.03 4 -0.025-0.025 5 0.050.05 6 0.040.04 7 0.0120.012 8 0.0230.023 9 -0.022-0.022 10 0.0150.015 根據此，我們計算個別之平均，標準差及變如下表： Ri Rj 平均 0.01030.0103 標準差 0.02

6、970.0297 變 0.0008820.000882 我們可以發現i, j都有相同的平均、標準差及變，如果管 漲跌之日期或次序，Ri, Rj都是有一樣的10天漲跌幅內容，等一下我 們會發現，Ri, Rj之間的10天內的漲跌幅內容雖然一樣，但是日期如 果一樣的話，會造成相關係及共變的變化。 如第2天Ri是 0.03，Rj是 0.04，但第3天Ri是 -0.04，Rj是 0.03 如果第2天改成Ri, Rj都是 0.03，但第3天Ri, Rj都是 -0.04，那麼 十天內每一天的漲幅都一樣，則 ij 就是1。可是，就是因為十天內I 和j漲跌的日期與幅都一，所以 ij 就可能是1。 另外，我們再舉

7、一如下表： Ri Rj Rk 1 0.020.010.01 2 0.030.02-0.02 3 -0.04-0.020.02 4 -0.025-0.03-0.03 5 0.050.040.04 6 0.040.050.04 7 0.0120.0220.022 8 0.0230.0320.032 9 -0.022-0.01-0.01 10 0.0150.0230.023 平均 0.01030.01370.0137 標準差 0.02970.02620.0262 變 0.0008820.0006860.000686 我們可以發現Ri和Rj上漲和下跌的日期都一樣，也就是齊漲齊 跌，所以 ij 高達0.

8、9296；而Ri和Rk有天漲跌方向同，即第2天和 第3天，所以ik 是0.5294。一般很難發現支股票是齊漲齊跌，而 且幅都一樣，所以股票之間的相關係一定是小於1；但是也很少 發現有支股票完全是反方向漲跌的，所以有股票之間的相關係很 少是負的。所以，依統計特性，雖然相關係一定是介於-1和1之間， 但是絕大部份的股票間相關係是介於0和1之間。 表 8-1 股票報酬間相關係之 單位：% 日期 R1R2R3 1 30.55.8 2 406.4 3 -232.8 4 -117.5-2.6 5 5-0.57 6 6-17.6 7 -33.52.2 8 215.2 9 5-0.57 10 12-411.2

9、 *R1=2-0.5R2；R1=4+0.6R3 圖 8-1 相關係 A： R1 = 2 0.5*R2 B： R1 = 4 + 0.6* R3 考表 8-1，我們用十日的三檔股票報酬計算之間的 相關係。計算結果告訴我們，R1與 R2之間的相關係竟然是負 1 ， 而 R1與 R3之間的相關係竟然是正 1。其實這足為怪，下之方 程式可以表達(R1,R2)與(R1,R3)之間的關係： R1 = 2 0.5*R2 R1 = 4 + 0.6*R3 -20 -10 0 10 20 123456789 10 數列1 數列2 -20 -10 0 10 20 30 123456789 10 數列2 數列1 我們可

10、以發現R1與R2之間或R1與R3之間都存在線性關係 ， 只要檔證券報酬之間的關 係呈線性關係，其相關係的絕對值一定趨近於1。當然，長期而言，實務上是很難找到 檔證券報酬之間的相關係是負的，過，趨近1的證券應該是相當多，如同一產業 的的股票往往是齊漲期跌，所相關係是近於1，如0.8或0.9。 第三節 投資組合平均與標準差 投資組合報酬 第三節 投資組合平均與標準差 投資組合報酬 投資組合報酬係組合內各投資資產報酬的加權平均，可用下公式表達： i N i ip RwR* 1 ， 其中 p R 即投資組合報酬； i w 即i資產之投資額佔總投資額之百分比； i R即i資產之投資報酬。 投資組合預期報

11、酬投資組合預期報酬 投資組合預期報酬， p RE ，即組合內各投資 資產預期報酬之加權平均，如下公式： i N i ip REwRE* 1 ， 其內各變定義如前。 投資組合風險投資組合風險(Portfolio Risk) 投資組合風險 2 p 可用下公式表達： ijj N i N j ip ww 11 2 ， 或 jiijj N i N j ip ww 11 2 其中ij 是組合資產i與j報酬之共變(Covariance)，ij 是組合 資產i與j報酬之相關係，其他定義如前。 此ij 可由報酬樣本估計如下： 1 1 , T RRRR T t j tj i ti ij ， 而 jiijij /

12、。 第四節 第四節 預期報酬/變效組合分析 預期報酬/變效組合分析 假設證券報酬的分布符合統計學上的常態分配 ， 亦即證券報酬的分布特性用平均 與變即足以表達。在這樣的情況下，馬可維茲博士首先提出點，投資人的投資組合決 策在(預期報酬/變)的平面空間就可以決定；也就是，投資人只要計算各證券之平均 報酬與標準差，以及證券間之共變或相關係，就可以形成在各種風險下的最佳組合， 或是在各種預期報酬下最低風險的組合。也就是在(預期報酬/變)的平面空間上，可 以找出效前緣，讓投資人可以依自己的無曲線，或自己的風險偏好，找到最適的組合。 預期報酬 無曲線 F 效前緣 P(投資人最適組合) E 標準差（風險）

13、 圖 8.2 效前緣 第五節 系統風險與非系統風險第五節 系統風險與非系統風險 所謂系統風險(Systematic Risk)，係指絕大部份風險性資產都面的風險，如世界大 戰如果發生，幾乎所有風險性資產價格都會下跌；一般是指股票、債券等財務資產，尤期是 股票面的風險。世界性能源危機，絕大多股票價格都會下跌。美國如果調升存款準備， 股市一定會有所的反應。 所謂非系統風險(Unsystematic Risk)，一般是指個別產業或公司所單獨面的風險，而 其他公司或產業較會受此因素影響。 系統風險與非系統風險又有幾個同的同義字，在下面表內： 系統風險 非系統風險 市場(Market)風險; i 公司或

14、產業特有風險; i 可避免(Unavoidable)之風險 可避免之風險 可分散(Undiversifiable)之風險 可分散之風險 系統風險之分散與低系統風險之分散與低 一般人往往會誤會以下的敘述是正確的： “系統風險是可分散的，所以投資組合無法 低系統風險 系統風險是可分散的，所以投資組合無法 低系統風險” 。事實上，只有當投資人的投資組合是有風險性時，或一直要維持風險性時， 才有系統風險這個問題；如果投資人將投資組合資全部改投資無風險資產，那麼這個投資 組合自然無風險可言，用它的系統風險是存在的。但是投資人也能忘，無系統 風險的投資組合，它的預期報酬一定是最低的。 同樣的道，投資組合的系統風險是可以低的。根據資本資產定價模式(CAPM)，投 資組合的值越低，其預期或要求報酬也越低，所以投資組合的系統風險是可以低的， 只要在原有的投資組合內加入比原有投資組合值低的股票(資產)，甚或無風險資產，如定 存，都可以使新投資組合的系統風險(值)低。而所謂系統風險是可分散的，係針對當 投資組合內的資產包括風險性資產包括風險性資產時的況而言；如果投資組合一定要包括風險性資產，那 麼再怎麼分散投資，都無法完全去除系統風險的；過，是可以低的。 第節 衡組合內單一證券之相對風險 第七節 結 第節 衡組合內單一證券之相對風險 第七節 結