第四节 平面体系的几何组成分析一、几何不变与几何可变体系杆件体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下，其位置和几何形状若能保持不变，这样的体系称为几何不变体系；如果在不考虑材料应变的情况下，其位置或形状是可以改变的，这样的体系则称为几何可变体系瞬变体系是一种特殊的几何可变体系，它可以沿某一方向产生瞬时的微小运动，但瞬时运动后即转化为几何不变体系一般工程结构必须是几何不变体系，而不能采用几何可变（常变或瞬变）体系二、几何不变体系的基本组成规则组成几何不变的平面体系的三个基本规则如下：1 ．二元体规则在一个刚片上增加或撤去一个二元体，仍为几何不变体系，且没有多余约束（图 3 -27a ）所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置（图 3 -27a ）2 ．两刚片规则两个刚片用一个单铰（实铰或虚铰）和一根所在直线不通过该铰铰心的链杆相连，组成几何不变体系，且没有多余约束（图 3 -27b ）所谓虚铰（或称瞬铰）是指连接两个刚片的两根链杆在其交点处组成的一个假想铰（图 3-27b ) ，它的作用相当于一个单铰 3 ．三刚片规则三个刚片用不在同一直线上的三个铰（实铰或虚铰）两两相连，组成几何不变体系，且没有多余约束（图 3 -27c）。
上述三个基本组成规则的核心实际上只有一个，即铰接三角形规则在平面体系中，铰接三角形（图 3-28 ）是一个稳定的平面组成形式将铰接三角形中的一根链杆、两根链杆及三根链杆分别替换为一个刚片（即任一几何不变部分）、两个刚片和三个刚片，同时将虚铰的作用与一个单铰同等看待，即可分别得到二元体规则、两刚片规则和三刚片规则应当指出，三个基本组成规则中所指的刚片是没有多余约束的刚片三、几何组成分析方法平面体系几何组成分析的依据是三个基本组成规则具体分析时，通常采用以下几种方法 1 ）先找出易于观察的几何不变部分作为刚片，并根据找到的刚片数目套用三个基本组成规则（例如找到了两个刚片，则考察它们之间的约束是否满足两刚片规则的要求），由此得到一个扩大的几何不变部分；再将该部分作为一个大的刚片进一步分析，直至分析完整个体系该方法通常称为扩大刚片法 2 ）如果体系中存在二元体，可逐个撤除二元体，再对余下的部分进行分析这不会改变原体系的几何组成性质 3 ）如果体系本身与基础之间只用三根既不完全平行也不完全交于一点的支座链杆（或一根链杆和一个不过该链杆的铰）相连，则可以将基础及支座链杆撤除，仅对体系本身进行分析换句话说，这种体系的几何组成性质仅取决于体系本身。
【例3 -7】 分析图 3 -29 和图 3 -30 所示体系的几何组成对于图 3 -29 所示的体系，将 ABC 作为刚片I，基础作为刚片II ，两刚片通过铰 A 及支座链杆 B 相连，根据两刚片规则组成几何不变部分，且无多余约束将该部分作为扩大的刚片，它与刚片DEF通过链杆CD及 E、F 处的支座链杆相连，三链杆既不完全交于一点，也不完全平行，根据两刚片规则组成几何不变体系故原体系为几何不变体系，且没有多余约束对于图 3 -30 所示的体系，将 BE 作为刚片I， EFC 作为刚片II ，基础作为刚片III , 三刚片通过B 、E 、C三铰两两相连；因三铰不共线，故根据三刚片规则组成几何不变部分，且没有多余约束将该几何不变部分作为扩大的刚片，并将 A 处两支座链杆归于该刚片（视为增加一个二元体），在此基础上再增加二元体 ADE 由此可见，体系为几何不变体系，且没有多余约束 【 例 3 -8 】 分析图 3 -31 ( a ）所示体系的几何组成该体系本身与基础之间仅用三根既不完全平行也不完全交于一点的支座链杆（即一根链杆和一个不过该链杆的虚铰）相连，故可将基础及支座链杆撤除，仅对体系本身进行分析。
在体系本身中依次撤去二元体 ABG 、 FCH 和 GDE ，得到的剩余部分如图 3 一 31 ( b ）所示要使该部分成为几何不变，至少需添加三根链杆，如添加链杆 AG 、 EG 和 AE （图中虚线所示），因此该体系缺少 3 个约束，为几何可变（常变）体系四、静定结构与超静定结构用作结构的杆件体系，必须是几何不变的几何不变体系又可分为无多余约束的和有多余约束的对于无多余约束的结构体系，其全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，这种结构称为静定结构对于有多余约束的结构体系，其全部反力和内力不能仅依靠静力平衡条件求得，这类结构称为超静定结构第五节 静定结构的内力分析静定结构按其受力特性，可以分为静定梁、静定刚架、三铰拱、静定析架和静定组合结构一、静定梁 1 ．截面内力分量及正负号规定平面杆件的任一截面上一般有三个内力分量：轴力 N ，剪力 Q 和弯矩 M 内力的正负号一般规定为： ( 1 ）轴力以受拉为正； ( 2 ）剪力以绕隔离体顺时针方向为正；( 3 ）弯矩一般不规定正负号（对水平梁通常以使梁的下侧受拉为正）内力图一般以杆轴为基线绘制弯矩图规定画在杆件的受拉侧，无需标明正负号；剪力图和轴力图则可画在杆件的任一侧（对水平杆件通常将正的剪力和轴力绘于杆件上侧） , 但需标明正负号。
2 ．截面法截面法是结构内力分析的基本方法截面法计算结构内力的基本步骤为： ( l ）将结构沿拟求内力的截面切开 ( 2 ）取截面任一侧的部分为隔离体，作出隔离体的受力图；受力图中的力包括两部分：外荷载和截断约束处的约束力（截面内力或支座反力），未知截面内力一般假设为正号方向 ( 3 ）利用静力平衡条件计算所求内力对于平面结构，一般情况下隔离体上的各力组成一平面任意力系，故有三个独立的平衡方程（投影方程或力矩方程） :特殊情况下，例如截取的是一个铰节点，则各丸组成一平面汇交力系，故有两个独立的投影平衡方程：【 例 3 -9 】计算简支斜梁（图 3 -32 ）在均布荷载作用下 1 / 3 跨处的内力( l ）求支座反力将梁（图 3 -32a ）沿三根支座链杆处截开，取梁整体为隔离体，作出隔离体的受力图如图 3 -32 ( b ）所示由整体平衡条件，可得：( 2 ）求截面内力在 1 / 3 跨截面 C 处截开，取 AC 部分为隔离体，作出受力图如图 3 -32 （c）所示由隔离体 AC 的平衡条件（x、y方向分别沿截面的轴向和切向），可得:注：计算截面 C 内力时，也可先求出截面上的水平和竖向分力 Xc 、 Yc ( Xc =0 ) ，再将其沿切向和轴向分解得到截面的剪力和轴力。
3．梁式直杆的内力图特征任取一梁的微段 dx 为隔离体（图 3 -33 ) ，由平衡条件可导得内力与荷载间的微分关系为：根据上述增量关系，可获得不同荷载情况下梁式直杆的内力图的形状特征如下：( l ）无荷载区段： V 图为平直线， M 图为斜直线；当 V 为正时， M 图线相对于基线为顺时针转（锐角方向），当 V 为负时为逆时针转，当 V=0 时 M 图为平直线 ( 2 ）均布荷载区段： V 图为斜直线， M 图为二次抛物线，抛物线的凸出方向与荷载指向一致， V =0 处 M 有极值 3 ）集中荷载作用处： V 图有突变，突变值等于该集中荷载值， M 图为一尖角，尖角方向与荷载指向一致；若 V 发生变号，则 M 有极值 4 ）集中力偶作用处： M 图有突变，突变值等于该集中力偶值， V 图无变化 5 ）铰节点一侧截面上：若无集中力偶作用，则弯矩等于零；若有集中力偶作用，则弯矩等于该集中力偶值 6 ）自由端截面上：若无集中力（力偶）作用，则剪力（弯矩）等于零；若有集中力（力偶）作用，则剪力（弯矩）值等于该集中力（力偶）值内力图的上述特征适用于梁、刚架、组合结构等各类结构的梁式直杆，并且与结构是静定还是超静定无关。
例 3 -10 】 判断图 3 一 34 ( a ）所示梁（ P ＜ql／ 2 ）的内力图形状是否正确，如有错误，请予以改正AC 段：为均布荷载区段， V 图应为斜直线， M 图应为抛物线，图中原内力图与此符合 CD 、 DB 段：为无荷载区段， V 图应为平直线， M 图为斜直线，显然原 V 图与此不符合D 截面处：有竖直向下的集中荷载， V 图应发生突变，且截面右侧的剪力应比左侧减小， M 图尖角应指向下方，原内力图与此也不符合可见，图 3 一 34 ( a ）的内力图不正确，需予以改正正确的内力图形状如图 3 -34 ( b ）所示由于均布荷载合力（ ql / 2 ）大于集中荷载P，故剪力在前半跨的某一截面 E 处就发生了变号（正值变为负值），该截面处弯矩达到最大值注：在剪力不发生突变的截面上，弯矩图总是光滑的例如本例的弯矩图在截面 C 处（抛物线与斜直线的连接处）是光滑的4 ．分段叠加法作弯矩图结构中的任一直杆段若受横向荷载作用（图 3 -35a、b ） ，则该杆段的弯矩图等于将该杆段视作简支梁，在简支端单独作用该杆段的端部弯矩与简支梁单独作用横向荷载的弯矩图的叠加（图 3 -35 c）。
这种作弯矩图的方法称为分段叠加法作弯矩图由于简支梁在一些常见荷载（如满跨均布荷载、跨中集中荷载等）下的弯矩图较为简单，因此利用分段叠加法往往可以简化弯矩图的绘制.具体作图时，可先求出该杆段的端部弯矩，并连以虚线，然后以此虚线为基线绘出相应简支梁在相同荷载作用下的弯矩图，该图与梁轴包围的图形即为杆段的最后弯矩图（图3- 35d ）需要注意的是，所谓弯矩图的叠加是指竖标的叠加，即在虚线基础上叠加的值仍应垂直于杆轴方向（而不是垂直于虚线方向）分段叠加法作弯矩图不仅适用于静定结构，同样也适用于超静定结构 例 3 -11 】 作图 3-36 （ a ）所示梁的内力图 l ）计算支座反力取整体为研究对象，由∑mB=0，可得：利用 AD 、 BC 段的竖向投影平衡，可求得各截面的剪力分别为（ 3 ）根据各区段的内力图形状特征绘出内力图AD 段：为无荷载区段，剪力图为一平直线，弯矩图为一斜直线；DB段：为均布荷载区段，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线，可采用分段叠加法绘出具体做法是，先将 D 、 B 截面的弯矩竖标连成虚线，再在虚线基础上叠加将 DB 段作为简支梁时作用均布荷载的弯矩值（跨中为ql2 / 8 =10kNm ）。
由于荷载向下，故叠加的抛物线应凸向下方BC 段：为均布荷载区段，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线，可采用分段叠加法作出，具体做法与 DB 段类似最后得到的剪力图和弯矩图如图 3 -36 （ b ）、（c）所示 4 ）内力图校核剪力图和弯矩图可以根据两者之间的微分关系（或杆段的平衡条件）进行校核对无荷载区段，剪力等于弯矩图的斜率（弯矩图相对基线顺时针时剪力为正）；对均布荷载区段，可取该区段为隔离体，根据对杆端的力矩平衡进行校核例如取出 DB 段（图 3 -36d ） ，经验证：故知该区段内力图正确 5 ．多跨静定梁的计算多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并与基础用若干个支座连接而成的静定结构例如图 3 -37 中的多跨静定梁， AB 和 CDE 部分（在竖向荷载作用下）不依赖于其他部分的存在就能独立维持其自身的平衡，故称为基本部分；BC部分则必须依赖于基本部分才能维持其自身的平衡，故称为附属部分多跨静定梁内力分析的一般步骤为： （ 1 ）分清各部分的层次关系，按照附属部分支承于基本部分的原则，绘出表示传力层次的图，即所谓的层次图； （ 2 ）从层次图中最上层的附属部分开始，按照先附属部分后基本部分的顺序。