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1、12013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 1,234,|2,ABxAB则 （A） 0 （B） 0 （C） 0 （D） 0,12（2）复数的 1Zi模为（A） （B） 2 （C） 2 （D ） 2（3）已知点 1,34,AB则 与 向 量 同 方 向 的 单 位 向 量 为（A） 5， - （B） 435， - （C） 34， （D ） ，（4）下面是关于公差 0d的等差数列 na的四个命题：1:npa数 列 是 递 增
2、数 列 ；2:npa数 列 是 递 增 数 列 ；3:数 列 是 递 增 数 列 ；4:3nd数 列 是 递 增 数 列 ；其中的真命题为（A） 12,p （B） 34,p （C） 23,p （D） 14,p2（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 20,4,60,82,10.若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是（A） 5 （B） 5 （C） （D） 60（6）在 AB，内角 ,C所对的边长分别为 ,.abc1sincosinco,2ab,b且 则A 6 B 3 C 23 D 56 （7）已知函数 2 1ln191,.lglfxxff则A
3、 1 B 0 C D 2 （8）执行如图所示的程序框图，若输入 8,nS则 输 出 的A 49 B 67 C 9 D 10 （9）已知点 30,.ABC,OAba若 为 直 角 三 角 形 则 必 有A 3ba B 31ba C 3310a D 330a（10）已知三棱柱 16.4BACOABC的 个 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 若 ， ，,AB12O， 则 球 的 半 径 为3A 3172 B 210 C 132 D 310 （11）已知椭圆2:()xyCab的左焦点为 F ,与 过 原 点 的 直 线 相 交 于,AB两 点 ， 4,.10,8,cosAB,5FBA连 接 若 则
4、的 离 心 率 为（A） 35 （B） 57 （C） 45 （D ） 67（12）已知函数 2222, 8.fxaxgxax设1 2ma,min,HxgHfpq表示 ,中的较大值， inpq表示 中的较小值，记 1x得最小值为 A2Hx得最小值为 B,则AB（A） 216a （B） 26a （C） （D ） 1第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列 13n
5、naSaa是 递 增 数 列 ,是 的 前 项 和 .若 ， 是 方 程2 6540x的 两 个 根 ， 则.（15）已知 F为双曲线2:1,9xyCPQCPQ的 左 焦 点 ， 为 上 的 点 ， 若 的 长 等 于4虚 轴 长 的 2倍 ， 5,0APQF点 在 线 段 上 ， 则 的 周 长 为 .（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）设向量 3
6、sin,cos,inx0,.2axb（I）若 .b求 的 值 ；（II）设函数 ,.fxafxA求 的 最 大 值18 （本小题满分 12 分）如图， .BOPOCO是 圆 的 直 径 ， 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点（I）求证： CA平 面 ；（II）设 /.QPGCQGPB为 的 中 点 ， 为 的 重 心 ， 求 证 ： 平 面19 （本小题满分 12 分）现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.试求：（I）所取的 2 道题都是甲类题的概率；（II）所取的 2 道题不是同一类题的概率.20 （本小题满分 12 分）如图，抛
7、物线 221 02:4,:.,CxyxpyMxyC点 在 抛 物 线 上 ，1M过 作 0,.1ABOAB的 切 线 ， 切 点 为 为 原 点 时 ， 重 合 于 当 时 ，-.2A切 线 的 斜 率 为（I） P求 的 值 ；（II） 2CABN当 在 上 运 动 时 ， 求 线 段 中 点 的 轨 迹 方 程5,.ABO重 合 于 时 中 点 为21 （本小题满分 12 分）（I）证明：当 20,1sin;xx时 ， （II）若不等式 32co40,1axa对 恒 成 立 ， 求 实 数 的取值范围.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时
8、用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， .ABOCDOEADCA为 直 径 ， 直 线 与 相 切 于 垂 直 于 于 ， B垂 直 于,.CDEFEB于 ， 垂 直 于 ， 连 接 证 明 ：（I） ;（II） 2.AC23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy中以 O为极点， x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 1C，直线 2的极坐标方程分别为 4sin,cs2.4.（I） 12C求 与 交 点 的 极 坐 标 ；（II） 12.PQCPQ设 为 的 圆 心 ， 为 与 交
9、点 连 线 的 中 点 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为3,.12xtatRabby为 参 数 求 的 值24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ,1.fx其 中（I） =24;afx当 时 ， 求 不 等 式 的 解 集6（II） 22|12,xfxafxx已 知 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为.a求 的 值参考答案一选择题1. 答案 B 解析 由已知 |2x，所以 0,1AB，选 B。2. 答案 B 解析由已知 1,()2iZi所以 2|Z3 答案 A解析 (3,4)B，所以 |5AB，这样同方向的单位向量是 134(,)5AB4 答案 D解析设 1(
10、)nadnm，所以 1P正确；如果 2na则满足已知，但 23n并非递增所以 2错；如果若 n，则满足已知，但 1na，是递减数列，所以 3P错； 4nad，所以是递增数列， 4P正确5 答案 B 解析第一、第二小组的频率分别是 0.1、 2，所以低于 60 分的频率是 0.3，设班级人数为 m，则 150.， 5。6 答案 A 解析边换角后约去 sinB，得 i()2AC，所以 1sin2B，但 B 非最大角，所以 B。7 答案 D解析 2()ln(193)1fxx所以 ()2fx，因为 lg， 12为相反数，所以所求值为 2.8 答案 A 解析 21si的意义在于是对 21i求和。因为 2
11、1()1ii，同时注意 i，所以所求和为 ()()()3579 = 479 答案 C解析若 A 为直角，则根据 A、B 纵坐标相等，所以 30ba；若 B 为直角，则利用1OBK得 30ba，所以选 C10 答案 C解析由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M。计算 AM= 52，由垂径定理，OM=6，所以半径 R= 2513()611 答案 B 解析由余弦定理，AF=6 ，所以 814a，又 20c，所以 10547e12 答案 C 解析 ()fx顶点坐标为 (2,4)， (gx顶点坐标 2,41a，并且 fx与 的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B 分别为两个二次函数顶点
12、的纵坐标，所以 A-B=()()6方法技巧 （1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。 （2）并不是 A，B 在同一个自变量取得。二填空题13 答案 6 解析直观图是圆柱中去除正四棱柱。 V241614 答案 63解析 13135,4a由递增， 13,a，所以 2314aq， 2q代入等比求和公式得 6S15 答案 44解析 |,|6,FPAFQA两式相加，所以并利用双曲线的定义得|28，所以周长为 |4PQ16 答案 10 解析设五个班级的数据分别为 abcde。由平均数方差的公式得75abcde，22222()()(7)45，显然各个括号为8整数。设 7,7abcde分别为 ,pqr
13、st， (,)pqrstZ，则2220(1)pqrst 。设 2222()()fxxxs=224()(xxpqrs= 240tt，由已知 0f，由判别式 0A得 4t，所以 3t，所以 10e。三解答题17解题思路 （） （1）一般给出模的关系就可以考虑把模平方，进而可以把向量问题转化为三角函数问题求出 2sinx（2）因为 ,2x，根据象限符号知 sin0x求出sin2x，所以 6。（）通过降幂公式和二倍角公式可化简 1()sin)6fx，最后解得最大值为 32。18. 解题思路（）由 AB 为直径条件推出 BCA，再结合 P面 ABC 即可证BC面 PAC。 （）由重心想到中点是关键，由面面平行推出线面平行是重要方法。19解题思路 （）基本事件空间中有 15 个基本事件，都是甲类的有 6 个，所以可求得概率 25（）不是同一类的有 8 个基本事件，所以所求的概率是 815。20解题思路 （） （1）切线的斜率可通过求导求解。 （2 ）用点斜式建立切线方程（3）用方程的思想解决求值问题。 （）列 MA 和 MB 两个切线方程，利用解方程的方法求得M 坐标再代入 C2 最后可得所求的轨迹方程21解题思
