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1、第八章,无穷级数,第一节 常数项级数的基本概念与性质 第二节 正项级数及其审敛法 第三节 任意项级数及其审敛法 第四节 幂级数,第五节 函数展开成幂级数,第一节,常数项级数的 基本概念和性质,二 、收敛级数的性质,一、常数项级数的概念,第八章,引例1,一、常数项级数的概念,1. 引例,引例2,级数的和,2. 定义,给定数列,无穷级数:,一般项：,部分和：,无穷级数收敛：,记作,收敛级数的余项：,无穷级数发散 ：,例1,(几何级数),1) 若,知,故级数收敛 ,知,则部分和,故级数发散 .,其和为,证明等比级数,当 时收敛,当 时发散 .,证,2) 若,级数发散 ;,n 为奇数,n 为偶数,结论
2、：,时收敛,时发散 .,则,级数为,不存在 ,等比级数,等比 级数,因此级数发散.,拆项相消,解,所以级数发散.,例2,判别级数 的敛散性.,部分和,例3,证,发散.,二、收敛级数的性质,性质1 若,收敛 ,证 令,则,收敛 , 其和为 c S .,推论1,其和为 c S.,收敛，则,故,敛散性相同 .,证毕.,性质2 设收敛级数,则,也收敛, 其和为,注,的敛散性规律：,收收为收，,收发为发，,发发不一定发.,例如,1 收敛级数可逐项相加（减） .,性质3,级数前面加上,不影响级数的敛散性.,证,去掉前 k 项,的部分,数敛散性相同.,收敛时, 其和,故新旧级,新级数,同敛散，,有限项不影响
3、 级数的敛散性,（去掉、或修改）有限项,证毕.,和为,性质4,收敛级数加括弧后,原级数的和.,所成的级数仍收敛于,推论2 若加括弧后的级数发散,但,例如，,则原级数必发散.,用反证法,注,？,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,例4 判断级数的敛散性,解 加括号级数为,故加括号级数发散,从而原级数发散.,推论1,例5,的敛散性.,解,性质5（级数收敛的必要条件）,设,收敛，则,证,注,非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,发散，,证毕.,故所给级数发散.,则级数 必发散 .,推论3 若,例6 (1),解 (1),故原级数发散.,小结:,收敛,发散,例7 判断敛散性, 若收敛求其和:,解 令,则,故级数发散.,所以级数收敛, 其和为 1 .,利用 “拆项相消” 求和,解,备用题例2-1,例2-2 判断敛散性, 若收敛求其和:,解,拆项相消,原级数收敛 ,其和为,例3-1,判别级数,的敛散性 .,解,故原级数收敛 , 其和为,例4-1 判断级数的敛散性,解 加括号级数,发散 ,故原级数发散 .,一般项,原级数收敛, 其和为 3 .,例8 判断级数的敛散性：,解,
