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1、常微分方程 Ordinary Differential Equation2014-2015学年第一学期,刘汉泽 修改 hnz_,课程安排： 计划上课18周（除去节假日、劳动周）， 从9月1日开始，单周4节； 双周2节，上机。,教材及参考资料,教 材： 常微分方程，(第三版）（2007年教育部精品教材）， 王高雄等（中山大学), 高教出版社 参考书目： 1 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 2 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 3 常微分方程教程，丁同仁等编，高教出版社 4 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。,教学安排,第1周第18周，共54学时 （含国庆等假期，实
2、际课时更少） 考试安排：按学校、学院统一安排， 总成绩=平时（30%）+期末（70%），有小论文可以加分，一般每周四课代表收交作业，并统计作业情况。,第一章 绪论,常微分方程是现代数学的一个重要分支，是 人们解决各种实际问题的有效工具，它在几 何、力学、物理、电子技术、航空航天、生 命科学、经济领域等都有广泛的应用。 随着计算技术和计算机的快速发展，常微分 方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程 技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来 越大的作用。,动力系统,Dynamical system describes the evolution of a state over time http:/
3、www.scholarpedia.org/article/History_of_dynamical_systems Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editor-in-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia,第一章 绪论主要内容,线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组 这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，统称代数方程。,在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题 比
4、如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等 研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程,基本思想: 把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解微分方程。,微分方程的历史,微分方程差不多是和微积分同时产生 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解 瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论 法国数学家Poinc
5、are及前苏联数学家Lyapunov等对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献,与其他学科的关系,常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具,1.1 常微分方程模型,RLC电路 数学摆 人口模型 传染病模型 两生物种群生态模型 Lorenz方程,RL电路,基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律,在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零,RLC电路,数学摆,人口模型,马尔萨斯(Malthus)
6、假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r,人口模型的改进,Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假设：净相对增长率为,logistic模型,传染病模型,假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t) 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数为k,SI模型易感染者：Susceptible已感染者：Infective,SIS模型,对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感染，设单位时间治愈率为mu,SIR模型（R：移出者（Remov
7、ed）,对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者，而治愈率l为常数,两生物种群生态模型,意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型 假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t) 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比,Volterra被捕食-捕食模型,两种群竞争模型,Lorenz方程,Lorenz吸引子，蝴蝶效应,对初值的敏感性,分形（fractal）,吸引子,总结,微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统
8、从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质,1.2 基本概念,1.2.1 常微分方程基本概念,定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程，DE,例1：下列关系式都是微分方程,微分方程,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，ODE,都是常微分方程,常微分方程,如,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程
9、，PDE,注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称为微分方程或方程,偏微分方程,如,都是偏微分方程,定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程,是二阶微分方程,是四阶微分方程,微分方程的阶,如:,n阶微分方程的一般形式为,是线性微分方程,线性和非线性,如,如果方程,是非线性微分方程,如,n阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,微分方程的解,定义,称为方程的显式解,例,证明:,显式解与隐式解,隐式解,注:显式解与隐式解统称为微分方程的解， 也叫微分方程的积分,例如,有显式解,和隐式解:,通解与特解,定义 如果微分方
10、程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解,例如:,n阶微分方程通解的一般形式为,注:,例,证明:,由于,故,又,类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解,以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解,隐式通解也称为“通积分”,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解,例如,定义,定解条件,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件,求满足定解条件的求解问题称为定解问题,
11、常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题,注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为,注2:,例（P19）,解,由于,且,解以上方程组得,ODE的定解条件除初值条件外，还有 边值条件。 此处略，见教材附录1，p.370.,积分曲线和方向场,积分曲线,一阶微分方程,称为微分方程的积分曲线,方向场,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.,所规定的方向场,例 研究下列方程的方向场和积分曲线,微分方程组,向量表示,驻定与非驻定，动力系统,驻定（自治）,非驻定（非自治）,相空间、奇点和轨线,不含自变量、仅由未知函数组成
12、的空间称为相空间 积分曲线在相空间中的投影称为轨线 称为平衡解（驻定解、常数解），奇点、平衡点,例,垂直等倾线、水平等倾线,课外练习 p27：. 2(1、5) p27: 3（1、5、8） p27: 4,第二章 一阶微分方程的初等解法,重点： 会解常见的一阶ODE. 难点： 方程的化简与变形， 基础： 函数的积分与微分。,2.1 变量分离方程与变量变换,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得
13、:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,齐次线性方程组,非齐次线性方程组,P44,例,(I) 形如,方程称为齐次方程,求解方法:,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代
14、换(坐标变换),则方程化为,为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,解:,解方程组,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,三、应用举例,例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体积和表面积的关系得,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随
15、时间的变化关系为,作业(9月8日),P42: 1, 3, 5, 7 P43: 2, 4, 6,9月10日,自治（驻定）,非自治（非驻定）,人口模型,马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r,9月10日,一阶微分方程的初等解法 变量分离方程 齐次微分方程 线性微分方程 倍努利微分方程 恰当方程 其它,变量分离 恰当微分方程,2.2 线性方程与常数变易法,一阶线性微分方程,一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法,代入(1)得,积分得,注 求(1)的通解可直接用公式(3),解:,将方程改写为,首先,求齐次方程,的通解
16、,从,分离变量得,两边积分得,故对应齐次方程通解为,其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即,积分得,故通解为,解:,但将它改写为,即,故其通解为,解:,先求原方程的通解,故所给初值问题的特解为,形如,的方程,称为伯努利方程.,解法:,解:,解以上线性方程得,例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,二 线性微分方程的应用举例,电路的Kirchhoff第二定律:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为,解线性方程:,解:,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:,故当开关K合上后,电路中电流强度为,作业,P48 1: 1,3,5,7,9,11,13,15,2.3 恰当方程与积分因子,一、恰当方程的定义及条件,如果恰好碰见方程,
