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1、,11-1 常数项级数的概念和性质,一、无穷级数的概念,1. 无穷级数的定义,设有数列un:u1, u2, , un, , 则称表达示,为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级数的一般项或通项.,若级数,的每一个项un均为常数，则称该,级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个,变量的函数un = un(x), 则称级数,为函数项,级数.,例1. 下列各式均为常数项级数,例2. 下列各式均为函数项级数,2. 级数的敛散性定义,无穷级数,的前n项之和：,称为级数的部分和.,若,存在，则称级数,收敛，,S称为级数的和：,若,不存在(包括为)，则称级数,发散.,例3. 讨论等比级数,的敛散性
2、.,解：等比级数的部分和为：,当公比 | r |1时，,即,当公比 | r |1时，,当公比 r =1时，,当公比 r = 1时，Sn=,a, n为奇数,0, n为偶数, 故,不存在.,综上所述，当公比| r |1时, 等比级数收敛；当公比| r |1时，等比级数发散.,例4. 讨论级数,的敛散性.,解：,而,故,，即该级数收敛.,3. 收敛级数的余项,收敛级数,称为收敛级数的余项，记为,的和S与其部分和Sn的差SSn,显然,二、级数收敛的必要条件,定理：若级数,收敛，则必有,证 设,例5. 判别,的敛散性.,解：由于,故,该级数发散.,例6. 证明调和级数,是发散的.,证 调和级数的部分和有
3、：,由数学归纳法，得,k=0, 1, 2, ,而,故,不存在，即调和级数发散.,三、无穷级数的基本性质,1. 性质1,若c0为常数，则,有相同的敛散性，,且,证,的部分和为,的部分和为,故,从而,同时收敛或同时发散.,2. 性质2,若,其和分别为S1和S2，则级,数,且,证,的部分和为：,故,即 级数,收敛，且,例7. 因为等比级数,所以级数,例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？,答：是发散的.,问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？,答：不一定.,3. 性质 3,在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对
4、收敛级数来说，它的和将改变.),证 设级数,的部分和为Sn,去掉级数的前,面m项后得到的级数,的部分和为S k:,由于Sm当m固定时为一常数，所以,故 级数,与级数,4. 性质4,对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.,例9. 考虑一下几个问题：,(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？,答：不一定.,(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？,答：不一定发散.,(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？,答：原级数也发散.,1. 正项级数的定义,定义：若级数,2. 正项级数收敛的充要条件,定理：正项级数,Sn有界.,则称,之为正项级数.,11-2、常
5、数项级数的审敛法,例10. 级数,是否收敛？,解：该级数为正项级数，又有,(n=1, 2, ),故 当n1时，有,即其部分和数列Sn有界，从而，级数,3. 正项级数敛散性的比较判别法,设有正项级数,且0 un vn (n=1, 2, ),证 记, 0 un vn (n=1, 2, ), 0 Sn Gn,例11. 判断级数,的敛散性. (0x3),解：由于,又,由等比级数的敛散性，,故 原级数收敛.,例12. 讨论P一级数,(p0)的敛散性.,解：当p1时，P一级数为调和级数,它是发散的.,当0p1时，有,由比较判别法，P一级,数此时是发散的.,当p1, 按1, 2, 22, 23, , 2n,
6、 项对P一级数加括号，不影响其敛散性：,而,于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均,小于以,为公比的等比级数的相应项，,故此时P一级数收敛.,综上所述，当p1, P一级数收敛；当p1时，P一级数发散.,4. 比较判别法的极限形式,或从某一项N开始). 若,(1) 0+时，,(2) =0时，,(3) =+时，,证(1) 由于,(0+),故 0, N0, 当nN时，,不妨取,运用比较判别法可知，当0+时，,具有相同的敛散性.,证(2) 由于,(=0),取=1时，N 0, 当n N时，,故由经比较判别法，当=0时，,证(3) 由于,(= )，故,M 0 (不妨取M 1) , N 0, 当n N
7、时，,即 0 vn un ,由比较判别法，当= 时，,例13. 判别级数,的敛散性 (a0为常数),解：因为,(即=1为常数),又,是调和级数，它是发散的，故原级数,发散.,例14. 判别级数,的敛散性，其中, x0为常数.,解：由于,而,是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数,5. 达朗贝尔比值判别法,设,为正项级数，极限,(1) 1时，级数收敛；,(2) 1 (包括= )时，级数发散；,(3) = 1 时，不能由此断定级数的敛散性.,例15. 判别级数,的敛散性，其中，x0为常数.,解：记,即 =01，故该级数收敛.,例16. 判别级数,的敛散性，其中，x0为常数.,解：记,即 =x2,
8、 由达朗贝尔判别法.,当0|x|1时，1, 级数收敛.,当|x|1时，1, 级数发散.,当 | x |=1 时，=1, 但原级数紧时为,这是 n = 2 的 P 一级数，是收敛的.,综上所述，当 0 1 时，原级数发散.,6. 柯西根值判别法,设,为正项级数，极限,(1) 1时, 级数收敛；,(2) 1 (包括= )时，级数发散；,(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.,例17. 判别级数,的敛散性，其中, x 0 为常数.,解：记,即 = 0 1 , 故该级数收敛.,例18. 判别级数,的敛散性，其中，x0,a0为常数.,解：记,即,当xa时，,当0xa时，,当 x = a 时，=1,
9、但,故原级数发散.,综上所述，当 0xa 时，原级数收敛. 当 x a时，原级数发散.,五、任意项级数的敛散性,1. 交错级数及其敛散性,交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为,或,其中，un0 (n=1, 2, ),定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数,满足条件,(1),(2) unun+1 (n=1, 2, ),则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.,(级数收敛的必要条件),证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.,1) 取交错级前2m项之和,由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及,由极限存在准则：,2) 取交错级数的前2m+1项之和,由条件1):,综上所述，有,
10、例19. 讨论级数,的敛散性.,解：这是一个交错级数，,又,由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.,例20. 判别级数,的敛散性.,解：这是一个交错级数，,又,令,x2, +)，则,x2, +)，,故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛.,2. 任意项级数及其敛散性,(1) 级数的绝对敛和条件收敛,定义：若级数,对收敛的；若级数,但级数,定理：若,(即绝对收敛的级数必定收敛),证： un |un|,从而,定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数,若,(1) 1时, 级数绝对收敛；,(2) 1 (包括= )时，级数发散；,(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.,例
11、21. 判别级数,的敛散性.,解：,由P一级数的敛散性，,即原级数绝对收敛.,例22. 判别,的敛散性，其中，x1为常数.,解：记,当|x|1时，=|x|1, 原级数绝对收敛.,当|x|1时，=1, 此时不能判断其敛散性.,由达朗贝尔判别法：,但|x|1时，,从而，原级数发散.,例23. 级数,是否绝对收敛?,解：,由调和级数的发散性可知，,故,发散.,但原级数是一个收敛的交错级数：,故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.,(2) 绝对收敛级数的性质,性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.,性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.,(3) 任意项级数敛散性的一个判别法,定理(迪利赫勒判别法) 设有级数,任意的 n 1 , 有un un+1, 且,又,n=1, 2, , M 0为与n无关的常数，则级数,若对,收敛.,例24. 判别级数,的敛散性,其中, x2k, kZ.,解：记,vn=cosnx, 则,n=1, 2, ，,又,而 x2k, kZ，,于是,且,故,又迪利赫勒判别法，级数,(x2k, kZ)收敛.,
