带有约束条件的排列组合问题课件

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1、1.2.2 组合,有约束条件的排列组合问题,在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？,(1)任意选5人；,一题多变,(2)甲、乙、丙三人必须参加；,(3)甲、乙、丙三人不能参加；,在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？,(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；,一题多变,在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？,(5)甲、乙、丙三人至少1人参加,一题多变,排列组合中的分组分配问题 一

2、、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题； 将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。,二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.,三、基本的分配的问题 (一)定

3、向分配问题 例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲两本、乙两本、丙两本. (2)甲一本、乙两本、丙三本. (3)甲四本、乙一本、丙一本.,(二)不定向分配问题 例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每人两本. (2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本.,在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名、农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有10人，则可能出现的录用情况有_种.,解法1:,解法2:,马路上有编号为1，2，3，1

4、0的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？,解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数 为 种方法,插空法,某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） （A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种,A,插空法,例4.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相

5、邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,隔板法,10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？,分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可 构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙， 即有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的 指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指 标，以此类推，因此共有 种分法.,

6、隔板法,例7、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得:,隔板法,混合问题，先“组”后“排”,对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能。,次,1正3次,练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则

7、有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,混合问题，先“组”后“排”,例3: 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？,解：由题意可知，有且仅有2名女生要分在同 一个班，,混合问题，先“组”后“排”,例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名

8、，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？,多面手问题,例5. 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?,多面手问题,分析：设集合A=只会划左舷的3个人，B=只会划右舷的4个人，C=既会划左舷又会划右舷的5个人,先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人；C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人。,第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人， 有 种 ,以下类同,例8、10双互不相同的

9、鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双；,(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有,组对问题,例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （2） 4只鞋子没有成双的；,(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有种 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 有 种取法,所以一共有 种取法.,例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （3） 4只鞋子只有一双。,(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 种

10、取法,3双鞋中取出1双有 种方法,另2双鞋中各取1只 有 种方法故共有 种取法.,8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。,注意区别“恰好”与“至少”,例2 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种,小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。,解：,练习: 从6双不

11、同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有_种,解：,把握分类原理、分步原理是基础 例1、如图，某电子器件是由三个电 阻组成的回路,其中有6个焊接 点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ） (A)63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种,分析:由加法原理可知,由乘法原理可知 222222-1=63,特殊元素（或位置）优先安排,例3 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种

12、,解：,练习3 从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_种不同的摆放方法。,解：,C,“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”,例4 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种 960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种,解：,另解：,小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.,8.九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当

13、作9使用，问 可以组成多少个三位数？,解：可以分为两类情况： 若取出6，则有 种方法； 若不取6，则有 种方法，,一共有 + 602种方法,课堂练习：,例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？ （2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？,例8、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？,例9:某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语与日

14、语的各1人,有多少种不同的选法？,解：由于73=109，所以9人中必有1人既会英语又会日语 (1)从只会英语的6人中选1人，只会日语的2人中选1人， 有N1=62=12 (2)既会英语又会日语的那位选定，其余8人中选1人， 有N2=18=8 由分类计数原理得N= N1+ N2=20.,选人问题：,课堂练习：,2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。,3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）,4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙

15、两人不都入选的不同选法种数共有（ ）,1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。,9,9,C,D,如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（ ）,（A）25 （B）15 （C）13 （D）10,总共需6步到达，其中2步向北或者4步向东,或,B,5、如图,某市有7条南北向街道，5条东西向街道（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？ （3）从A点到B点最短路线的走法有多少种？,首先，只由一个小正方形组成的有7*4由2

16、*2小正方形组成的有6*3由3*3小正方形组成的有5*2由4*4小正方形组成的有4*1所以7*46*35*24*1=60,(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？,(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？,排列与组合应用题的技巧汇总,在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步,解决排列组合应用题的常用方法： (1)合理分类，准确分步； (2)特殊优先，一般在后； (3)先取后排，间接排除； (4)集团捆绑，间隔插空； (5)抽象问题，构造模型； (6)均分除序，定序除序,用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的