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1、. . . . .第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分（甲）容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数在点的某领域有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，则我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。2导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点（）处的切线的斜率。切线方程：法线方程：设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬
2、时速度。3函数的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，在处连续，却不可导。4微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式 （）其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。我们定义自变量的微分就是。5微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）。6可微与可导的关系在处可微在处可导。且一般地，则所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7高阶导数的概念如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称
3、为在点处的二阶导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记以，等，这时也称是阶可导。二、导数与微分计算1导数与微分表（略）2导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式（4）隐函数求导法则（5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题一、用导数定义求导数例 设，其中在处连续，求解：二、分段函数在分段点处的可导性例1 设函数试确定、的值，使在点处可导。解：可导一定连续，在处也是连续的。由 要使在点处连续，必须有或又 要使在点处可导，必须，即.故当时，在点处可导.例2 设，问和为何值时，可导，且
4、求解：时，时， 由处连续性，可知再由处可导性，存在存在且根据洛必达法则， 于是三、运用各种运算法则求导数或微分例1 设可微，求解：例2 设，求解： 对求导，得再令，对求导， 于是 （）例3 设由方程所确定，求解：两边取对数，得，对求导，例4 设 求解：四、求切线方程和法线方程例1 已知两曲线与在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求。解：由已知条件可知，故所求切线方程为例2 已知曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解：曲线的参数方程为故切线方程即 法线方程 即 例3 设为周期是5的连续函数，在邻域，恒有。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解：由题设可
5、知，故切线方程为 所以关键是求出和 由连续性 由所给条件可知， 再由条件可知令，又 上式左边= =则 所求切线方程为 即 五、高阶导数1求二阶导数例1 设，求解： 例2 设 求 解：例3 设由方程所确定，求解：， 2求阶导数（，正整数）先求出，总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的阶导数公式（1） （2） （3）（4）（5）两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式其中，假设和都是阶可导例1 设（正整数），求（正整数）解：例2 设，求 （正整数）解：例3 设，求（正整数）解：例4 设，求（正整数）解： 例5 设，求（正整数）解：用莱布尼兹公式2.2 微分中值定理本节专门讨论考
6、研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理这部分有关考题主要是证明题，其巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。（甲）容要点一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（）可导；（3）则存在，使得几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；包括点A和点B。条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线不包括点和点。条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。结论说明曲线在点和点之间不包括点和点至少有一点，它的切线平行于轴。二、拉格朗日中值定理设函数满足（1）在闭区间
7、上连续；（2）在开区间（）可导则存在，使得或写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间包括点和点是连续曲线：条件（2）说明曲线不包括点和点是光滑曲线。结论说明：曲线 在，之间不包括点和点，至少有点，它的切线与割线是平行的。推论1 若在可导，且，则在为常数。推论2 若和在（）可导，且，则在，其中为一个常数。（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当特殊情形，就是罗尔定理）三、柯西中值定理设函数和满足：（1）在闭区间，上皆连续；（2）在开区间（，）皆可导；且，则存在使得（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）
8、几何意义：考虑曲线的参数方程点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线. 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理1（带皮亚诺余项的阶泰勒公式）设在处有阶导数，则有公式 （）其中 称为皮亚诺余项。（）前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如和（为实常数）等的阶泰勒公式
9、都要熟记。定理2 （带拉格朗日余项的阶泰勒公式）设在包含的区间有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式其中，（在与之间）称为拉格朗日余项。上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。时，也称为麦克劳林公式。 如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。（乙）典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1 设在0，3上连续，在（0，3）可导，且，. 试证：必存在，使 证： 在0，3上连续， 在0，2上连续，且有最大值和最小值.于是；，故. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在，3上连续，（，3）可导，由罗尔定理得出必存在使得。例2 设在0，1上连续，（0，1）可导，且求证：存在使
10、证：由积分中值定理可知，存在，使得得到 对在0，c上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在，使例3 设在0,1上连续，(0，1)可导，对任意，有，求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使而 又，则 在例3的条件和结论中可以看出不可能对用罗尔定理，否则结论只是，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数，它与有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。模型：设在上连续，（）可导，则下列各结论皆成立。（1）存在使（为实常数
11、）（2）存在使（为非零常数）（3）存在使（为连续函数）证：（1）令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证.（2）令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证。（3）令，其中 由 清去因子，即证。例4 设在上连续，在（0，1）可导，试证： （1）存在，使。（2）对任意实数，存在，使得证明：（1）令，显然它在0, 1上连续，又，根据介值定理，存在使即（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而 （注：在例4（2）的证明中，相当于模型中（1）的情形，其中取为，取为）模型：设，在上皆连续，（）皆可导，且，则存在，使证：令，则，显然在上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即证.例5 设在0, 1上
12、连续，（0, 1）可导，为正整数。 求证：存在使得 证：令，则，用模型，存在使得故则例6 设在可导，且，求证在任意两个零点之间至少有一个的零点 证：反证法：设，而在，则令在上用罗尔定理（不妨假设否则结论已经成立）则存在使，得出与假设条件矛盾。所以在至少有一个零点例7 设在二阶可导，且，又 求证：（1）在（）； （2）存在，使 证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在和上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在（2）由结论可知即，因此令，可以验证在上连续，在可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1 设在可导，且， 求的值解：由条件易见，由拉格朗日中值定理，有其中介于与之间，那么 于是，则例2 设是周期为1的连续函数，在（0，1）可导，且，又设是在1，2上的最大值，证明：存在，使得。 证：由周期性可知，不妨假定而，对分别在1, 和, 2上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使得 如果，则用式，得；如果，则用式，得；因此，必有，使得例3 设在0, 1上连续，（0, 1）可导，且，证明： （）存在，使得 （）存在，使证：（）令，则在0, 1上
