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1、课后习题解答课后习题解答 第一章第一章绪论绪论 习题一习题一 1.1.设设 x0,x*x0,x*的相对误差为的相对误差为，求，求 f(x)=lnf(x)=ln x x 的误差限。的误差限。 解：解：求求 lnxlnx 的误差极限就是求的误差极限就是求 f(x)=lnxf(x)=lnx 的误差限，由公式的误差限，由公式 (1.2.4)(1.2.4)有有 已 知已 知x*x* 的 相 对 误 差的 相 对 误 差满 足满 足， 而， 而 ，故，故 即即 2.2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有试指出它们有 几位有效数字，并给出其误差限与相对误差
2、限。几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：解：直接根据定义和式直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)(1.2.2)(1.2.3)则得则得 有有 5 5 位有效数字，其误差限位有效数字，其误差限，相对误差限，相对误差限 有有 2 2 位有效数字，位有效数字， 有有 5 5 位有效数字，位有效数字， 3.3.下列公式如何才比较准确？下列公式如何才比较准确？ （1 1） （2 2） 解解：要使计算较准确要使计算较准确，主要是避免两相近数相减主要是避免两相近数相减，故应变换故应变换 所给公式。所给公式。 （1 1） （2 2） 4.4.近似数近似数 x*=0.0310,x*=0.031
3、0,是是3 3位有数数字。位有数数字。 5.5.计算计算取取， 利用利用：式计算误差最小式计算误差最小。 四个选项：四个选项： 第第二、三二、三章章插值与插值与函数逼近函数逼近 习题习题二、三二、三 1.1. 给定给定的数值表的数值表 用线性插值与二次插值计用线性插值与二次插值计算算ln0.5ln0.54 4的近似值并估计误差限的近似值并估计误差限. . 解解： 仍可使用仍可使用 n=1n=1 及及 n=2n=2 的的 LagrangeLagrange 插值或插值或 NewtonNewton 插值插值, , 并应用误差估计（并应用误差估计（5.85.8） 。线性插值时，用。线性插值时，用 0.
4、50.5 及及 0.60.6 两点两点， 用用 NewtonNewton 插值插值 误差限误差限，因，因 ，故，故 二次插值时，用二次插值时，用 0.50.5，0.60.6，0.70.7 三点，作二次三点，作二次 NewtonNewton 插值插值 误差限误差限 ，故，故 2.2. 在在-4-4x x4 4 上给出上给出的等距节点函数表，若用二次的等距节点函数表，若用二次 插值法求插值法求 的近似值，要使误差不超过的近似值，要使误差不超过，函数表的步长，函数表的步长 h h 应取多少应取多少? ? 解：解：用误差估计式（用误差估计式（5.85.8） ， 令令 因因 得得 3.3. 若若，求，求
5、和和. . 解解：由均差与导数关系由均差与导数关系 于是于是 4.4. 若若互异，求互异，求 的值，这里的值，这里 p pn+1.n+1. 解解 ：， 由 均 差 对 称 性， 由 均 差 对 称 性 可知当可知当有有 而当而当 P Pn n1 1 时时 于是得于是得 5.5. 求证求证. . 解：解：解：解：只要按差分定义直接展开得只要按差分定义直接展开得 6.6. 已知已知的函数表的函数表 求出三次求出三次 NewtonNewton 均差插值多项式均差插值多项式， 计算计算 f(0.23)f(0.23)的近似值并的近似值并 用均差的余项表达式估计误差用均差的余项表达式估计误差. . 解：解
6、：根据给定函数表构造均差表根据给定函数表构造均差表 由式由式(5.14)(5.14)当当 n=3n=3 时得时得 NewtonNewton 均差插值多项式均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得由此可得 f(0.23)f(0.23) N3(0.23)=0.23203N3(0.23)=0.23203 由余项表达式由余项表达式(5.15)(5.15)可得可得 由于由于 7 7. . 给定给定 f(x)=
7、cosxf(x)=cosx 的函数表的函数表 用用 NewtonNewton 等距插值公式计算等距插值公式计算 coscos 0.0480.048 及及 coscos 0.5660.566 的近的近 似值并估计误差似值并估计误差 解解：先构造差分表先构造差分表 计计算算，用用 n=4n=4 得得 NewtonNewton 前插前插 公式公式 误差估计由公式（误差估计由公式（5.175.17）得）得 其中其中 计算计算时用时用NewtonNewton后插公式后插公式 （5.18)5.18) 误差估计由公式（误差估计由公式（5.195.19）得）得 这里这里仍仍为为 0.5650.565 8 8求
8、一个次数不高于四次的多项式求一个次数不高于四次的多项式 p(x),p(x),使它满足使它满足 解解：这种题目可以有很多方法去做这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜但应以简单为宜。此处此处 可先造可先造使它满足使它满足 ，显然，显然，再令，再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由由 p(2)=1p(2)=1 求出求出 A A ，于是，于是 9.9. 令令称为第二类称为第二类 ChebyshevChebyshev 多项式多项式， 试试 求求 的表达式的表达式，并证明并证明是是-1,1-1,1上带权上带权的正交的正交 多项式序列多项式序
9、列。 解：解：因因 1010. . 用最小二乘法求一个形如用最小二乘法求一个形如的经验公式的经验公式， 使它拟合使它拟合 下列数据，并计算均方误差下列数据，并计算均方误差. . 解解：本题给出拟合曲线本题给出拟合曲线，即，即，故法方，故法方 程系数程系数 法方程为法方程为 解得解得 最小二乘拟合曲线为最小二乘拟合曲线为 均方程为均方程为 11.11. 填空题填空题 (1)(1)满 足 条 件满 足 条 件的 插 值 多 项的 插 值 多 项 式式 p(x)=p(x)=( () ). . (2)(2), ,则则 f f1,2,3,41,2,3,4= =( () )，f f1,2,3,4,51,2
10、,3,4,5 = =( () ). . (3)(3) 设设为互异节点为互异节点，为对应的四次插值基函为对应的四次插值基函 数，则数，则( () )，( () ). . (4)(4) 设设是区间是区间0,10,1上权函数为上权函数为(x)=x(x)=x 的最的最 高项系数为高项系数为 1 1 的正交多项式序列的正交多项式序列， 其中其中， 则则 ( () )，( () ) 答：答： （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） 第第 4 4 章章数数 值值 积积 分分与数值微分与数值微分 习题习题 4 4 1.1. 分别用复合梯形公式及复分别用复合梯形公式及复合合SimpsoSimpson n
11、公式计算下列积分公式计算下列积分. . 解解本题只要根据复合梯形公式（本题只要根据复合梯形公式（6.116.11）及复合）及复合 SimpsoSimpson n 公式（公式（6.136.13）直接计算即可。）直接计算即可。 对对，取，取 n=8,n=8,在分点处计算在分点处计算 f(x)f(x)的的值构造函数表。值构造函数表。 按式按式（6.116.11）求出求出，按式按式（6.136.13）求得求得， ， 积分积分 2.2. 用用 SimpsonSimpson 公式求积分公式求积分，并估计误差，并估计误差 解解：直接用直接用 SimpsonSimpson 公式（公式（6.76.7）得）得 由
12、（由（6.86.8）式估计误差，因）式估计误差，因，故，故 3.3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度高，并指明求积公式所具有的代数精确度. . (1)(1) (2)(2) (3)(3) 解解：本题直接利用求积公式精确度定义本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式则可突出求积公式 的参数。的参数。 （1 1）令）令代入公式两端并使其相等，得代入公式两端并使其相等，得 解此方程组得解此方程组得，于是有，于是有 再令再令，得，得 故求积公式具有故求积公式具有 3 3 次代数精确度。次代数精
13、确度。 （2 2）令）令代入公式两端使其相等，得代入公式两端使其相等，得 解出解出得得 而对而对不准确成立，故求积公式具有不准确成立，故求积公式具有 3 3 次代数精确度次代数精确度。 （3 3）令）令代入公式精确成立，得代入公式精确成立，得 解得解得，得求积公式，得求积公式 对对 故求积公式具有故求积公式具有 2 2 次代数精确度。次代数精确度。 4.4. 计算积分计算积分，若用复合，若用复合 SimpsonSimpson 公式要使误差不公式要使误差不 超过超过，问区间，问区间要分为多少等分要分为多少等分? ?若改用复合梯形公若改用复合梯形公 式达到同样精确度，区间式达到同样精确度，区间应分
14、为多少等分应分为多少等分? ? 解：解：由由 SimpsonSimpson 公式余项及公式余项及得得 即即， 取取 n=6n=6， 即区间即区间分为分为 1212 等分可使误差不等分可使误差不 超过超过 对梯形公式同样对梯形公式同样，由余项公式得，由余项公式得 即即 取取 n=255n=255 才更使复合梯形公式误差不超过才更使复合梯形公式误差不超过 5 5. . 用用 RombergRomberg 求积算法求积分求积算法求积分，取，取 解解：本题只要对积分本题只要对积分使用使用 RombergRomberg 算法算法（6.206.20） ，计算计算 到到 K K3 3，结果如下表所示。，结果
15、如下表所示。 于是积分于是积分，积分准确值为，积分准确值为 0.7132720.713272 6 6用三点用三点 Gauss-LegendreGauss-Legendre 求积公式计算积分求积公式计算积分. . 解：解：本题直接应用三点本题直接应用三点 GaussGauss 公式计算即可。公式计算即可。 由于区间为由于区间为，所以先做变换，所以先做变换 于是于是 本题精确值本题精确值 7 7用 三 点用 三 点 Gauss-ChebyshevGauss-Chebyshev 求 积 公 式 计 算 积 分求 积 公 式 计 算 积 分 解解：本题直接用本题直接用 Gauss-ChebyshevG
16、auss-Chebyshev 求积公式计算求积公式计算 即即 于是于是，因，因 n=2,n=2,即为三点公式，于是即为三点公式，于是 ，即，即 故故 8.8. 试确定常数试确定常数 A A，B B，C C，及，及，使求积公式，使求积公式 有尽可能高的代数精确度有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确并指出所得求积公式的代数精确 度是多少度是多少. .它是否为它是否为 GaussGauss 型的求积公式型的求积公式? ? 解解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令令 对公式精确成立，得到对公式精确成立，得到 由（由（2 2） （4 4）得）得 A=CA=C，这两个方程不独立。故可令，这两个方程不独立。故可令， 得得 （5 5） 由（由（3 3） （5 5）解得）解得，代入（，代入（1 1）得）得 则有求积公式则有求积公式 令令公式精
