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2020 年北京市高一数学竞赛（决赛）试题 一、填空题（每题 8 分） 1. 已知实函数 满足 ，且 ，则 2. 等腰梯形 的内切圆与腰 的切点为 ，与 的交点分别为 和 ， 则 的值等于 3. 四位数 比它的各位数字的平方和大 . 在所有这样的四位数中最大的一个是 4. 已知点 在 内部，且 . 记 的面积为 ， 的面积为 ，则 5. 有 个不同的质数 满足 是质数，且 都是完全平方数，那么 二、（15分）面积为 的正方形位置如图所示，求证： 三、（15分）存在 个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出 例证；如果不存在，请说明理由. 四、（15分）如图，已知 为等腰 底边 上任一点， 分别为 的内切 圆， 为 中点，求证 五、（15分）将集合 划分为两个子集 和 ，使得 ，且 与 的元素中至少有一种排列组成的正整数满足 ，则称 与 为集合 的一个 “ 两倍型 2 划分 ”. （1）写出集合 的所有 “ 两倍型 2 划分 ”，并给出理由. （2）写出集合 的每个 “ 两倍型 2 划分 ” 对应的所有可能的
