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1、1 量子力学课后习题详解 第一章量子理论基础 11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 m 与温度 T 成反比，即 m T=b（常量） ； 并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。 解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv vv 1 18 3 3 = ，（1） 以及cv=，（2） ddv vv =，（3） 有 , 1 18 )( )( 5 = = = = kT hc v v e hc c d c d d dv 这里的 的物理意义是黑体内波长介于与+d之间的辐射能量密度。 本题关注的是取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对的一 阶导数为零，
2、由此可求得相应的的值， 记作 m 。 但要注意的是， 还需要验证 对的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就 是要求的，具体如下： 0 1 1 5 1 18 6 = + = kT hc kT hc e kT hc e hc 2 0 1 1 5= + kT hc e kT hc kT hc e kT hc = )1(5 如果令 x= kT hc ，则上述方程为 xe x = )1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此 解正是所要求的，这样则有 x
3、k hc T m = 把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 KmT m = 3 109 . 2 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低。 12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。 解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv， h P= 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ 2 cE e = ax ax x xU ， ， ， 0 0 0 )( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：txU与)(无关，是定态问题。其定态 S方程 10 )()()(
4、)( 2 2 22 xExxUx dx d m =+ 在各区域的具体形式为 ： )()()()( 2 0 111 2 22 xExxUx dx d m x=+ 由于(1)、(3)方程中，由于=)(xU，要等式成立，必须 0)( 1 =x 0)( 2 =x 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为0)( 2)( 2 22 2 2 =+x mE dx xd 令 2 2 2 mE k=，得 0)( )( 2 2 2 2 2 =+xk dx xd 其解为kxBkxAxcossin)( 2 += 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 )0()0( 12 = )()( 32
5、aa= 0=B 0sin=kaA ), 3 , 2 , 1( 0sin 0 = = nnka ka A x a n Ax sin)( 2 = 11 由归一化条件 1)( 2 = dxx 得1sin 0 22 = a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m = 2 sinsin x a n a x a A sin 2 )( 2 2 = = 2 2 2 mE k= ), 3 , 2 , 1( 2 2 2 22 =nn ma En 可见 E 是量子化的。 对应于 n E的归一化的定态波函数为 = axax axxe a n a tx tE i n n , , 0 0 ,
6、sin 2 ),( # 2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 = 证： + = ax axax a n A n , 0 ),(sin （2.6-14） 由归一化，得 12 aA ax a n n aA aA dxax a nA x A dxax a n A dxax a n Adx a a a a a a a a a a n 2 2 2 22 2 22 2 )(sin 2 )(cos 22 )(cos1 2 1 )(sin1 = + = + = += += 归一化常数 a A 1 =# 2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 22 2 1 2 2 )( x
7、xex = 22 22 2 3 22 2 11 2 2 4)()( x x ex exxx = = 22 22 2 )( 32 3 1x exx dx xd = 令0 )( 1 = dx xd ，得 =xxx 1 0 由)( 1 x的表达式可知，=xx 0，时，0)( 1 =x。 显然不是最大几率的位置。 22 22 )251( 4 )22(2)62( 2 )( 4422 3 32222 3 2 1 2 x x exx exxxx dx xd = =而 0 14 2 )( 3 2 1 2 1 2 = ax axU xU , 0 , 0 )( 0 运动，求束缚态( 0 0UE)的能级所满足的方程
8、。 解法一：粒子所满足的 S-方程为 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d =+ 按势能)(xU的形式分区域的具体形式为 ：)x(E)x(U)x( dx d 2 1101 2 22 =+ ax ：)()( 2 22 2 22 xEx dx d = axa ：)x(E)x(U)x( dx d 2 3303 2 22 =+ xa 整理后，得 ：0 )(2 1 2 0 1 = EU ：.0 E 2 2 2 2 =+ ：0 )(2 3 2 0 3 = EU 令 2 2 2 2 0 2 1 2 )(2 E k EU k = = 则 ：0 1 2 11 = k ：.0 2 2 22 =
9、k ：0 1 2 13 = k 15 各方程的解为 xkxk 3 222 xkxk 1 11 11 FeEe xkcosDxksinC BeAe + += += += 由波函数的有限性，有 0 )( 0 )( 3 1 = = E A 有限 有限 因此 xk 3 xk 1 1 1 Fe Be = = 由波函数的连续性，有 )13( FekaksinDkakcosCk),a()a( )12( FeakcosDaksinC),a()a( )11( aksinDkakcosCkBek),a()a( )10( akcosDaksinCBe),a()a( ak 1222232 ak 2232 2222 a
10、k 121 22 ak 21 1 1 1 1 = =+= += += 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0FekaDksinkaCkcosk0 0FeaDkcosaCksin0 00D aksinkaCkcoskBek 0 0aDkcosaCksinBe ak 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 =+ =+ =+ =+ 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组 有非零解，必须 0 Bekaksinkakcosk0 eakcosaksin0 0aksinkakcoskek 0akcosaksine ak
11、 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 = 16 ak2coskk2ak2sin)kk(e ak2sinkak2sinkak2coskk2e aksinekakcosaksinek akcosekakcosaksinekek akcosaksinekaksinekk akcosaksinekakcosekke ekaksinkakcosk eakcosaksin 0akcosaksin ek ekaksinkakcosk eakcosaksin 0aksinkakcosk e0 2212 2 1 2 2 ak2 2 2 12 2 2221 ak2 2 2ak
12、222 ak 1 2 2ak 222 ak 1 ak 1 22 ak 2 22 2 ak 21 22 ak2 22 2ak 21 ak ak 12222 ak 22 22 ak 1 ak 12222 ak 22 2222 ak 1 1 11 111 11 111 1 11 1 11 = += + + + += = = 0 1 2 ak e 02cos22sin)( 2212 2 1 2 2 =akkkakkk 即022)( 212 2 1 2 2 =kkaktgkk为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（13）式 aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2
13、1 2 2 1 2 22 +=+ aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2 1 2 2 1 2 22 +=+ 17 0 0 0 02 2 2 2coscoscoscosk k k k2 2 2 2 2 2 2 2sinsinsinsin) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 02 2 2 2coscoscoscos 2 2 2 2 2 2 2 2sinsinsinsin) ) ) ) 1 1 1 1( ( ( ( 0 0 0 0coscoscoscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsinsincoscoscoscossinsins
14、insin 0 0 0 0) ) ) )coscoscoscossinsinsinsin)( )( )( )(sinsinsinsincoscoscoscos( ( ( ( 0 0 0 0) ) ) )coscoscoscossinsinsinsin)( )( )( )(sinsinsinsincoscoscoscos( ( ( ( ) ) ) )coscoscoscossinsinsinsin)( )( )( )(sinsinsinsincoscoscoscos( ( ( ( 0 0 0 0 ) ) ) )coscoscoscossinsinsinsin( ( ( (sinsinsinsin
15、coscoscoscos coscoscoscossinsinsinsinsinsinsinsincoscoscoscos 2 2 2 22 2 2 21 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1
