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1、拉普拉斯变换,-补充内容,一、什么叫做拉普拉斯变换,古典的求解微分方程的方法，求解过程比较繁琐，而且只能处理一些比较简单（一阶或二阶的微分方程）。 而对我们以后要面对的自动控制系统将包含很多环节，它们之间的变化互相制约着。如果还要通过古典法求解微分方程来分析自动控制系统，那将是一个是分困难和不切实际的。,拉普拉斯变换为我们提供了一种简单的求解微分方程的方法，是我们进行系统分析的一个很好数学的工具。 拉普拉斯变换是将一个时域函数f(t)变换成一个复数域的函数F(s),像函数,原函数,这里像函数的具体形式取决于原函数的具体形式，也就是说原函数和像函数是一一对应的。,假如已知F(s）又可以通过拉斯反
2、变换求出原函数，即：,到此大家可能会问：为什么要进行拉普拉斯变换？是不是将问题复杂化了？,大家在初等数学中都学过自然对数。；例如,其中a，b，c代表的已知的数值，当然我们可以直接用乘除法进行计算，但当这些数的数值较大，则乘除运算还是相当麻烦的。 为简化计算起见，可以对上式去自然对数，这样一来就可将原来的计算此结果的乘除运算变化为代数运算,要计算此结果可以先查对数表，进行计算，然后再查反对数表即可得到运算结果,拉普拉斯变换的作用和对数计算有着相同的功效，不过拉斯变换不象对数那样只是一个数与数之间的变换，而是函数与函数之间的变换。利用拉斯变换可以把解微分方程中遇到的微分、积分的运算简化为关于s的代
3、数运算，因此简化了解微分方程的求解过程。 和对数运算一样，在拉普拉斯变化的运算中也有现成的变换表可查，不需要运用定义去进行复杂的积分运算,二、拉斯变换主要运算定理,拉斯变换之所以好用，就是因为它具有一些可以加以利用的基本性质，下面的几条主要运算定理就是阐明拉斯变换的性质，只有掌握了这些的定理才能发挥拉斯变换的作用。 下面就简述一下它的几个主要定理,1、叠加定理,叠加定理告诉我们，如果,那么：,即：,证明：按定义,推广,2、微分定理,微分定理是拉普拉斯变换的核心定理，为什么利用拉斯变换可以将微分、积分的运算简化为一般的代数运算？它的依据就是微分定理,微分定理告诉我们,如果：,下面我们进行证明,证
4、明：依据拉斯变换的定义，有,上式利用分部积分法进行积分，现令,微分定理得以证明,依次类推，求三阶导 的拉斯变化,推广之,当在零初始条件下,以上各阶导数的拉斯变换为：,也就是说，对原函数每进行一次微分后的拉斯变换就相当于它像函数用s来乘一次。这里将微分运算简化为乘以s，这就是拉斯变换的奥妙之处,3、积分定理,积分定理告诉我们，如果,证明：根据拉斯变换的定义 将f(t)看成是 的导函数,根据微分定理,所以,定理得以证明,在此基础上加以推广，求二次积分 拉斯变换，同理将 看成为 的导函数,所以,在零初始条件下,也就是说，原函数每积分一次的拉斯变换，即相当于它的像函数用s来除一次,4、位移定理,位移定
5、理告诉我们,如果,则,证明： 根据拉斯变换的定义,又上式可见：上式只是在F(s)中的s由（s-a）代替即可，这个性质表明一个原函数乘以指数函数 等于其象函数作位移a,5、延时定理（第二位移定理）,f(t),f(t-z),z,若,则根据卡斯变换定义，有,令t-z=u,6、初值定理和终值定理,1）初值定理,此定理表明，原函数在t=0时情形与像函数在s时的情形有着密切的关系，既有：,证明：根据拉斯变换的微分定理,上式中的f(0)是一个常数，与s无关，因此,从另一个角度看，又有,固有,所以,此性质表明函数f(t)在t=0时函数的值可以通过f(t)的像函数F(s)乘以s取s的极限值而获得它，建立原函数f
6、(t)在坐标原点的值与像函数sF(s)在s的值之间的关系。,2）终值定理,次定理表明，原函数f(t)在t时的情形与像函数F(s)在s0时的情形有着密切的关系，即,根据拉斯变换的微分定理,上式中f(0)是一常数，与s无关,从另一个角度看，又有,所以,这个性质表明函数f(t)在t时的函数值（即稳态值），可以通过f(t)的像函数乘以s取s0时的极限值而得到。它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系。,7、拉斯反变换,上面介绍的是拉普拉斯变换的线性定理，同样也有与之对应的拉普拉斯反变换。拉普拉斯反变换就是从像函数F(s)求与之对应的原函数，我们教材书中介绍了反变换的一般公式。通常在进行拉斯反变换时可直接查拉斯表获得。,
