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1、 419 附录附录 A 拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 齐次性 )()(saFtafL= 1 线性定理 叠加性 )()()()( 2121 sFsFtftfL= 一般形式 = = ?= = = 1 1 )1( )1( 1 2 2 2 )( )( )0()( )( 0)0()( )( )0()( )( k k k k n k knn n n dt tfd tf fssFs dt tfd L fsfsFs dt tfd L fssF dt tdf L M ）（ 2 微分定理 初始条件为 0 时 )( )( sFs dt tfd L n n n = 一般
2、形式 = = + = = += += += n k t n n knn n n tt t dttf ss sF dttfL s dttf s dttf s sF dttfL s dttf s sF dttfL 1 0 1 0 2 2 0 2 2 0 )( 1)( )( )( )()( )( )( )( )( )( 个共个共 LL M 3 积分定理 初始条件为 0 时 n n n s sF dttfL )( )(= 个共 L 4 延迟定理（或称t域平移定理）)()( 1 )(sFeTtTtfL Ts = 5 衰减定理（或称s域平移定理）)()(asFetfL at += 6 终值定理 )(lim
3、)(lim 0 ssFtf st = 7 初值定理 )(lim)(lim 0 ssFtf st = 8 卷积定理 )()()()()()( 21 0 21 0 21 sFsFdtftfLdftfL tt = 420 2表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 号 拉氏变换 E(s) 时间函数 e(t) Z 变换 E(z) 1 1 (t) 1 2 Ts e1 1 = = 0 )()( n T nTtt 1z z 3 s 1 )( 1 t 1z z 4 2 1 s t 2 ) 1( z Tz 5 3 1 s 2 2 t 3 2 ) 1(2 ) 1( + z zzT 6 1 1 +n s !
4、 n t n )( ! ) 1( lim 0 aTn nn a ez z an 7 as + 1 at e aT ez z 8 2 )( 1 as + at te 2 )( aT aT ez Tze 9 )(ass a + at e1 )(1( )1 ( aT aT ezz ze 10 )(bsas ab + btat ee bTaT ez z ez z 11 22 +s tsin 1cos2 sin 2 +Tzz Tz 12 22 +s s tcos 1cos2 )cos( 2 + Tzz Tzz 13 22 )( + as te at sin aTaT aT eTzez Tze 22 co
5、s2 sin + 14 22 )(+ + as as te at cos aTaT aT eTzez Tzez 22 2 cos2 cos + 15 aTsln)/1 ( 1 Tt a / az z 421 3 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设)(sF是s的有理真分式 01 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasa bsbsbsb sA sB sF n n n n m m m m + + = L L （mn ） 式中系数 nn aaaa,., 110 ， mm bbbb, 110 L都是实常数；nm,是
6、正整数。按代数定理可 将)(sF展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 0)(=sA无重根 这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。 = = + + + = n i i i n n i i ss c ss c ss c ss c ss c sF 1 2 2 1 1 )(LL （F-1） 式中， n sss, 21 L是特征方程A(s)0的根。 i c为待定常数，称为F(s)在 i s处的留数，可 按下式计算： )()(limsFssc i ss i i = （F-2） 或 i ss i sA sB c = = )( )( （F-3） 式中，)(s A 为)(sA对s的一阶导数。根据拉
7、氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 = = n i i i ss c LsFLtf 1 11 )()( ts n i i i ec = 1 (F-4) 0)(=sA有重根 设0)(=sA有r重根 1 s，F(s)可写为 ( ) )()()( )( 11nr r ssssss sB sF = + L = n n i i r r r r r r ss c ss c ss c ss c ss c ss c + + + + + + + LLL 1 1 1 1 1 1 1 1 )()()( 式中， 1 s为F(s)的r重根， 1+r s，, n s为F(s)的n-r个单根； 422 其中， 1+r
8、 c，, n c仍按式(F-2)或(F-3)计算， r c， 1r c，, 1 c则按下式计算： )()(lim 1 1 sFssc r ss r = )()( lim 11 1 sFss ds d c r ss r = M )()(lim ! 1 1 )( )( 1 sFss ds d j c r j j ss jr = (F-5) M )()(lim )!1( 1 1 )1( )1( 1 1 sFss ds d r c r r r ss = 原函数)(tf为 )()( 1 sFLtf = + + + + + = + + n n i i r r r r r r ss c ss c ss c ss c ss c ss c LLLL 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )()()( ts n ri i tsrrrr i ecectct r c t r c += + + + = 1 12 211 1 )!2()!1( L （F-6）
