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1、第一节变化率与导数、导数的计算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为.当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的
2、导数通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)li li .(2)导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义(3)函数的导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)li ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数公式及运算法则(1)导数公式表原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x
3、)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)(3)复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)cos .()(5)若(
4、ln x)，则ln x()(6)函数f(x)sin (x)的导数为f(x)cos x()(7)ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10 D3xy10解析：选Cysin xex，ycos xex，yx0cos 0e02，曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程为y12(x0)，即2xy10.故选C.3求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y.答案：(1)yex(nxn1xn)(2)y.典题1求下列函数的导数：(1)y(1)；(2)y；(3
5、)ytan x；(4)y3xex2xe；(5)y.听前试做(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(5)y.导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求
6、导 典题2(1)(2015天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_(2)已知f(x)x22xf(2 016)2 016ln x，则f(2 016)_.听前试做(1)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.(2)由题意得f(x)x2f(2 016)，所以f(2 016)2 0162f(2 016)，即f(2 016)(2 0161)2 017.答案：(1)3(2)2 017在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误1若函数f(x)ax4bx2c满
7、足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0解析：选Bf(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx.又f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.2在等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)的值为_解析：因为f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考
8、查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程典题3(1)(2016宜春模拟)曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10(2)(2016铜川模拟)设曲线yexax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则实数a()A3 B1C2 D0(3)已知函数f(x)x34x25x4.求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程听前试做(1)由于ye，所以yx1e1，故曲线yexln x在点(1，
9、e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.(2)与直线x2y10垂直的直线斜率为2，f(0)e0a2，解得a2.(3)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.答案：(1)C(2)C角度二：求切点坐标典题4(2
10、015陕西高考)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_听前试做yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)答案：(1,1)角度三：求参数的值典题5(1)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2(2)(2015新课标全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.(
11、3)(2015新课标全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.听前试做(1)两曲线的交点为(0，m)，即a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则f(0)0，f(0)1.又g(x)2xb，g(0)b，b0，ab1.(2)f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.(3)法一：yxln x，y1，yx12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已
12、知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，yxx02ax0(a2)由解得答案：(1)C(2)1(3)8(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解(如角度一)(2)已知斜率k，求切点A(x0，f(x0)，即解方程f(x0)k.(如角度二)(3)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点(如角度三)课堂归纳感悟提升方法技巧1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)
