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1、学习好资料欢迎下载 11 中考数学压轴题试题及答案选 1、 （11 福州）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC的边长为2cm，点 A、C分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2+bx+c经过点 A、B 和 D2 (4,) 3 . （1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点 A 出发沿 AB边以 2cm/ s 的速度向点B 运动，同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC边以 1cm/ s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停 止运动 . 设 S =PQ 2 (cm 2) 试求出S与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； 当 S取
2、 5 4 时， 在抛物线上是否存在点R， 使得以 P、 B、 Q、 R 为顶点的四边形是平行四边形? 如 果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由. （ 3）在抛物线的对称轴上求点M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标 . 解: (1)据题意知 : A(0, 2), B(2, 2) ， D（4， 3 2 ）, 则解得 抛物线的解析式为: 2 3 1 6 1 2 xxy -4 分 (2) 由图象知 : PB=22t, BQ= t, S=PQ 2=PB2+BQ2=(22t)2 + t2 , 即 S=5t28t+4 (0 t 1) -6分 假设存在点R, 可构成以P、B、
3、R、Q 为顶点的平行四边形. S=5t28t+4 (0 t 1), 当 S= 4 5 时, 5t 28t+4= 4 5 ,得 20t 232t+11=0, 解得t = 2 1 ，t = 10 11 （不合题意，舍去）-7 分 此时点P的坐标为（ 1，-2） ， Q 点的坐标为（ 2， 2 3 ） 若 R点存在，分情况讨论: （第 22 题） 学习好资料欢迎下载 【A】假设 R在 BQ的右边 , 这时 QRPB, 则， R 的横坐标为3, R的纵坐标为 2 3 即 R (3, 2 3 )，代入 2 3 1 6 1 2 xxy , 左右两边相等， 这时存在R(3, 2 3 )满足题意 . 【B】假
4、设 R 在 BQ 的左边 , 这时 PRQB, 则： R 的横坐标为1, 纵坐标为 2 3 即(1, 2 3 ) 代入 2 3 1 6 1 2 xxy , 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设 R 在 PB的下方 , 这时 PRQB, 则： R(1， 2 5 )代入 , 2 3 1 6 1 2 xxy 左右不相等 , R不在抛物线上. 综上所述 , 存点一点R(3, 2 3 )满足题意 . -11分 （3） A 关于抛物线的对称轴的对称点为B,过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M 的坐标为（ 1， 3 8 ）-14 分 2、 （ 11 德州）在直角坐标系xoy 中，已
5、知点P是反比例函数）0( 32 x x y图象上一个动点，以 P为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A （1）如图 1， P运动到与x 轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由 （2）如图 2， P运动到与x 轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时： 求出点A，B，C的坐标 在过 A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使 MBP 的面积是菱形ABCP面积的 2 1 若存在， 试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由 解： （1） P分别与两坐标轴相切， A P 2 3 y x x y K O 图 1 图 1 A P 2 3 y x x y K O 学习好
6、资料欢迎下载 PAOA，PKOK PAO =OKP =90 又 AOK=90， PAO =OKP= AOK =90 四边形 OKPA是矩形 又 OA=OK， 四边形 OKPA是正方形2 分 （2）连接PB，设点 P的横坐标为x，则其纵坐标为 x 32 过点 P作 PG BC于 G 四边形ABCP为菱形， BC=PA =PB=PC PBC为等边三角形 在 RtPBG中， PBG =60， PB=PA =x， PG= x 32 sin PBG= PB PG ，即 2 3 3 2 x x 解之得： x=2（负值舍去） PG=3，PA =BC=24 分 易知四边形OGPA是矩形， PA=OG=2，BG
7、=CG =1， OB=OGBG=1， OC =OG+GC=3 A（0，3） ，B（1，0）C（3，0） 6 分 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c 据题意得： 0 930 3 abc abc c 解之得： a= 3 3 ， b= 4 3 3 ， c=3 二次函数关系式为： 2 34 3 3 33 yxx9 分 解法一：设直线BP的解析式为： y=ux+v，据题意得： 0 23 uv uv O A P 2 3 y x x y B C 图 2 G M 学习好资料欢迎下载 解之得： u=3， v=3 3 直线 BP的解析式为：33 3yx 过点 A 作直线 AMPB ，则可得直线AM 的解析式
8、为：33yx 解方程组： 2 33 34 3 3 33 yx yxx 得： 1 1 0 3 x y ； 2 2 7 8 3 x y 过点 C作直线 CMPB ，则可设直线CM的解析式为：3yxt 0=3 3t 3 3t 直线 CM 的解析式为：33 3yx 解方程组： 2 33 3 34 3 3 33 yx yxx 得： 1 1 3 0 x y ； 2 2 4 3 x y 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个， 分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分 解法二： 1 2 PABPBCPABC SSS， A（0，3） ，C（3，0）显然满足条件 延长 AP
9、交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA 又 AMBC， 1 2 PBMPBAPABC SSS 点 M 的纵坐标为3 又点 M 的横坐标为AM=PA +PM=2+2=4 点 M（4，3）符合要求 学习好资料欢迎下载 点（ 7，8 3）的求法同解法一 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个， 分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分 解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA 又 AMBC， 1 2 PBMPBAPABC SSS 点 M 的纵坐标为3 即 234 3 33 33 xx 解得： 1 0 x（舍）， 2
10、4x 点 M 的坐标为（ 4，3） 点（ 7，8 3）的求法同解法一 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个， 分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分 3、 （ 11 义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为 点 P，与 x 轴的另一交点为点B. （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； （2）如图 1，在直线y=2x 上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D 的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 M 是线段 OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长
11、度的速度由 点 P向点 O 运动， 过点 M 作直线 MNx轴，交 PB于点 N. 将 PMN 沿直线 MN 对折， 得 到 P1MN. 在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S ，运 动时间为t 秒 . 求 S关于 t 的函数关系式. 解： （1）设二次函数的解析式 为y=ax 2+bx+c 由题意得 O P C B A x y 图 1 图 2 M O A x P N C B y 学习好资料欢迎下载 024 12 4 2 cba c a b 解得 12 8 1 c b a 二次函数的解析式为y= x 28x+12 2 分 点 P的坐标为（ 4， 4） 3
12、 分 （2）存在点 D，使四边形OPBD为等腰梯形 . 理由如下： 当 y=0 时， x2-8x+12=0 x1=2 ， x2=6 点 B 的坐标为（ 6， 0） 设直线 BP的解析式为y=kx+m 则 44 06 mk mk 解得 12 2 m k 直线 BP的解析式为y=2x12 直线 ODBP4 分 顶点坐标P（4， 4） OP=42 设 D(x， 2x) 则 BD 2=（2x）2+(6x)2 当 BD=OP时， （2x）2+(6x)2=32 解得： x1= 5 2 ，x 2=2 当 x2=2时， OD=BP=52，四边形 OPBD为平行四边形，舍去 当 x= 5 2 时四边形OPBD为
13、等腰梯形7分 当 D( 5 2 ， 5 4 )时，四边形OPBD为等腰梯形 8 分 （ 3）当 0t2 时， 运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t 秒， 则 MP=2t PH=t，MH=t，HN= 2 1 tMN= 2 3 t S= 2 3 tt 2 1 = 4 3 t 2 10 分 当 2t4 时， P1G=2t4， P1H=t MNOB EFP1MNP 1 2 1 1 )( 1 1 HP GP S S MNP EFP 2 2 ) 42 ( 4 3 1 t t t S EFP x P1 M A O B C P N y H x P1 M A O B C P N G H E F y DO x
14、 A O B C P y 学习好资料欢迎下载 图 1 图 2 图 3 x y M N x O C E A B F A B y C O x O y A C B EFP S 1 =3t 212t+12 S= 4 3 t 2(3t212t+12)= 4 9 t 2+12t12 当 0t 2 时， S= 4 3 t 2 4、 （11 金华）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1 的正方形并排组成矩形OABC, 相邻两 边 OA 和 OC 分别落在x轴和y轴的正半轴上 , 设抛物线 2 yaxbxc（a0）过矩形顶点B、 C. （1）当 n=1 时，如果a=-1，试求 b 的值； （2）当 n=2
15、时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1 的正方形EFMN，使 EF在线段 CB上，如 果 M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； （3）将矩形 OABC绕点 O 顺时针旋转，使得点B 落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 O. 试求当 n=3 时 a 的值； 直接写出a关于n的关系式 23.( 本题 10 分) （1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x= 1 2 ， 1 22 b a ,得 b= 1； 2 分 （2）设所求抛物线解析式为 2 1yaxbx， 由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点 M（ 1 2 ， 2） 1421 11 21. 42 ab ab ， 解得 4 , 3 8 . 3 a b 所求抛物线解析式为 2 48 1 33 yxx； 4 分 （3）当 n=3 时， OC= 1， BC=3， 设所求抛物线解析式为 2 yaxbx， 过 C作 CD OB 于点 D，则 RtOCD RtCBD ， 1 3 ODOC CDBC , 设 OD=t，则 CD=3t， 222 ODCDOC， x y O A B C D x y O C E A B M N F y x O
