《北师大版(2019)数学必修第二册：4.2.4积化和差与和差化积公式教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版(2019)数学必修第二册：4.2.4积化和差与和差化积公式教案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1/5 积化和差与和差化积公式 【教学目标】 1能根据公式 S 和 C 进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式 2了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、 运算能力 【教学重难点】 三角函数的积化和差与和差化积公式 【教学过程】 一、问题导入 两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？ 二、合作探究 1积化和差问题 【例 1】 （1）求值： sin 20 cos 70 sin 10 sin 50 . （2）求值： sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 . 思路探究 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽
2、量出现特殊角 解（1）sin 20 cos 70 sin 10 sin 50 1 2(sin 90 sin 50 )1 2(cos 60 cos 40 ) 1 4 1 2sin 50 1 2cos 40 1 4 1 2sin 50 1 2sin 50 1 4. （2）原式 cos 10 cos 30 cos 50 cos 70 3 2 cos 10 cos 50 cos 70 3 2 1 2 cos 60 cos 40 cos 70 3 8 cos 70 3 4 cos 40 cos 70 3 8 cos 70 3 8 (cos 110 cos 30 ) 3 8 cos 70 3 8 cos
3、110 3 16 3 16. 2/5 【教师小结】积化和差公式的功能与关键 1 功能：把三角函数的一种形式积的形式 转化为另一种形式和差的形式 . 将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质. 2 关键是正确地选用公式， 以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三 角函数 . 2和差化积问题 【例 2】已知 cos cos 1 2，sin sin 1 3，求 sin( )的值 思路探究 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解 解cos cos 1 2， 2sin 2 sin 2 1 2. 又sin sin 1 3， 2cos 2 sin 2 1 3. si
4、n 2 0 ， 由，得 tan 2 3 2，即 tan 2 3 2. sin( ) 2sin 2 cos 2 sin2 2 cos 2 2 2tan 2 1tan2 2 2 3 2 19 4 12 13. 1(变结论 )本例中条件不变，试求cos( )的值 解因为 cos cos 1 2， 所以 2sin 2 sin 2 1 2. 又因为 sin sin 1 3， 所以 2cos 2 sin 2 1 3. 3/5 因为 sin 2 0 ， 所以由，得 tan 2 3 2，即 tan 2 3 2. 所以 cos ( ) cos 2 2 sin2 2 sin2 2 cos 2 2 1tan2 2
5、1tan2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 5 13. 2(变条件 )将本例中的条件 “cos cos 1 2，sin sin 1 3” 变为“cos cos 1 2， sin sin 1 3” ，结果如何？ 解因为 cos cos 1 2， 所以 2cos 2 cos 2 1 2. 又因为 sin sin 1 3， 所以 2sin 2 cos 2 1 3. 所以 cos 2 0 ，所以由，得tan 2 2 3， 所以 sin ( ) 2sin 2 cos 2 sin2 2 cos 2 2 2tan 2 1tan 2 2 2 2 3 1 2 3 2 12 13. 【教师小结】和差化积公式应
6、用时的注意事项： 1 在应用和差化积公式时， 必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名， 必须用诱导公 式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次. 2 根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： 运用公式之后，能否出现特殊角； 运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项. 3 为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用 公式，如 1 2cos cos 3cos . 3公式的综合应用 4/5 探究问题 （1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？ 提示注意三角形中的隐含条件的应用，如ABC ，abc 等 （2）在 ABC 中有哪些
7、重要的三角关系？ 提示在 ABC 中的三角关系： sin(AB)sin C，cos(AB)cos C， sinAB 2 cos C 2，cos AB 2 sinC 2， sin(2A2B)sin 2C，cos(2A2B)cos 2C 【例 3】在 ABC 中，求证： sin Asin Bsin C 4sinA 2sin B 2cos C 2. 思路探究 利用和差化积进行转化，转化时要注意ABC. 解左边 sin(BC)2sinBC 2 cos BC 2 2sinBC 2 cos BC 2 2sinBC 2 cos BC 2 2cos BC 2 sinBC 2 sinBC 2 4sinA 2si
8、n B 2cos C 2右边，原等式成立 【教师小结】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用 化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“ 异” 化为“ 同” ，分式不好证时，可变形 为整式来证 . 三、课堂总结 1公式的记忆 和差化积公式记忆口诀： “ 正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天” (正代表 sin ，余代表 cos ) 2公式的应用 注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导 四、课堂检测 1sin 75 sin 15 的值为 () A1 2 B 2 2 5/5 C 3 2 D 1 2 Bsin 75sin 152c
9、os 75 15 2 sin75 15 2 2 2 2 1 2 2 2 .故选 B 2函数 ysin x 6 cos x 的最大值为 () A1 2 B1 4 C1 D 2 2 Bysin x 6 cos x1 2 sin x 6x sin x 6x 1 2 sin 2x 6 1 2 1 2sin 2x 6 1 4. 函数 y 的取最大值为 1 4. 3已知 sin( )2 3，sin( ) 1 5，则 sin cos _. 13 30 sin cos 1 2sin( ) 1 2sin( ) 1 2 2 3 1 2 1 5 13 30. 4化简下列各式： （1）cos Acos 120 B c
10、os 120 B sin Bsin 120 A sin 120 A ； （2） sin A2sin 3Asin 5A sin 3A2sin 5Asin 7A. 解（1）原式 cos A2cos 120 cos B sin B2cos 120 sin A cos Acos B sin Bsin A 2sin AB 2 sin BA 2 2cos AB 2 sin BA 2 tan AB 2 . （2）原式 sin Asin 5A 2sin 3A sin 3Asin 7A 2sin 5A 2sin 3Acos 2A2sin 3A 2sin 5Acos 2A2sin 5A 2sin 3A cos 2 A1 2sin 5A cos 2 A1 sin 3A sin 5A.
